结论前置：在离婚时为争抚养权而放弃抚养费，之后又起诉要求支付抚养费的情况，法律上是允许的，但具体能否得到支持，需根据实际情况和法律规定来判断。以下是对此问题的详细分析：

一、法律背景与原则

1. 父母抚养义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有法定的抚养义务，这一义务不因父母离婚而消除。即使双方在离婚协议中约定了不支付抚养费，但如果该约定违反了法律规定或显失公平，直接抚养方仍然有权通过法律途径维护自己及子女的合法权益。

2. 子女利益最大化：在处理抚养费问题时，法院始终将子女的利益放在首位。如果直接抚养方因经济困难或子女需求增加而无法独自承担抚养费用，法院可能会支持其要求对方支付抚养费的请求。

二、可能的情况与法律分析

1. 直接抚养方经济困难：

   • 情况描述：协议离婚时，双方可能基于当时的经济状况达成不支付抚养费的协议。然而，随着时间的推移，直接抚养方的经济状况可能发生变化，如失业、疾病或其他重大支出，导致无法独自承担子女的抚养费用。
   • 法律分析：在此情况下，直接抚养方有权向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。法院会根据双方的经济状况、子女的实际需求以及当地的生活水平等因素，综合判断并作出裁决。

2. 子女生活教育成本增加：

   • 情况描述：随着子女的成长，其生活和教育成本也会相应增加。例如，子女可能需要参加课外辅导班、兴趣班或购买学习资料等，这些额外的开支可能超出直接抚养方的承受能力。
   • 法律分析：如果原定的抚养费无法满足子女实际需求，直接抚养方可以提起诉讼要求增加抚养费。法院会考虑子女的年龄、健康状况、教育需求以及双方的经济能力等因素，来决定是否增加抚养费以及增加的数额。

3. 对方经济状况改善：

   • 情况描述：在协议离婚时，对方的经济状况可能并不理想。然而，随着时间的推移，对方的收入可能增加或财产状况发生变化。
   • 法律分析：如果直接抚养方认为对方有能力承担更多的抚养责任，可以提起诉讼要求支付抚养费。法院会审查对方的经济状况变化情况，以及这种变化是否足以支持其承担更多的抚养费用。

4. 子女出现特殊需求：

   • 情况描述：如果子女在成长过程中出现了特殊的医疗或教育需求，如患有重大疾病需要长期治疗或具有特殊才能需要专业培养等。
   • 法律分析：这些额外的开支可能使直接抚养方难以独自承担。在这种情况下，直接抚养方有权提起诉讼要求对方分担相关费用。法院会根据子女的特殊需求以及双方的经济能力等因素，来判决对方是否应分担费用以及分担的比例。

三、法律建议与注意事项

1. 收集证据：在提起诉讼前，直接抚养方应收集相关证据，如经济困难证明、子女生活教育成本增加的证据、对方经济状况改善的证据以及子女特殊需求的证明等。这些证据将有助于法院更全面地了解情况并作出公正裁决。

2. 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了法律分析，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在提起诉讼前，建议你咨询专业律师（当然，你可以直接向我咨询，我擅长婚姻家庭领域的法律问题），以便更准确地了解你的权利和义务以及诉讼的风险和可能的结果。

3. 注重调解：在诉讼过程中，法院通常会鼓励双方进行调解。通过调解，双方可以达成一个更加符合实际情况和子女利益的协议，从而避免长时间的诉讼和可能的负面后果。

最后，离婚时为争抚养权而放弃抚养费，之后又起诉要求支付抚养费的情况在法律上是允许的。但具体能否得到支持，需根据实际情况和法律规定来判断。如果你面临这样的问题或有其他婚姻家庭方面的法律问题，欢迎直接向我咨询。