结论：在工厂工作一个月后被辞退且没有获得赔偿，是否合法以及能否获得赔偿，取决于辞退的原因以及工厂是否遵守了相关法律规定。
一、辞退原因与合法性分析
合法辞退：
- 如果工厂是因为你严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等原因辞退你，且这些原因在劳动合同或公司规章制度中有明确规定，那么工厂的辞退行为可能是合法的。
- 在这种情况下，工厂通常不需要支付经济补偿。但工厂需要提供充分的证据证明其辞退行为的合法性，如你违反规章制度的记录、造成损害的证据等。
非法辞退：
- 如果工厂没有合法理由辞退你，或者辞退程序违反了法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），那么工厂的辞退行为可能是非法的。
- 在这种情况下，你有权要求工厂支付经济补偿，甚至可能要求支付赔偿金。
二、经济补偿的计算与支付
- 经济补偿的计算：
- 根据《劳动合同法》的规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在你工作一个月的情况下，如果工厂非法辞退你，你应获得半个月工资的经济补偿。
计算公式：经济补偿 = 月工资 × 0.5（月）
- 经济补偿的支付：
- 工厂应在辞退你时一次性支付经济补偿。如果工厂拒绝支付，你可以通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的权益。
三、维权途径与建议
与工厂协商：
- 你可以首先尝试与工厂协商，要求其支付经济补偿。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，你可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，你需要提供相关证据（如劳动合同、工资单、辞退通知等）来支持自己的诉求。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，你还可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要遵循法院的诉讼程序，提供充分的证据来支持自己的主张。
四、注意事项与风险提示
- 在维权过程中，你需要保留好所有相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知、沟通记录等。这些证据将是你维权的重要依据。
- 维权过程可能耗时较长，且需要一定的法律知识和诉讼技巧。如果你对法律程序不熟悉，可以考虑寻求专业律师的帮助。
- 在与工厂协商或申请劳动仲裁时，要注意言行举止，避免情绪化或过激行为。保持冷静和理性有助于更好地解决问题。
总结：在工厂工作一个月后被辞退且没有获得赔偿，是否合法以及能否获得赔偿取决于辞退的原因和工厂是否遵守了相关法律规定。如果工厂非法辞退你，你有权要求其支付经济补偿。在维权过程中，你需要保留好相关证据，并可以考虑寻求专业律师的帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。