如果工厂开除您且没有给予赔偿，您可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
一、明确工厂开除的合法性
首先，您需要明确工厂开除您的理由是否合法。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，工厂在以下情况下可以合法解除劳动合同，且无需支付赔偿：
劳动者过错：如您存在严重违反工厂规章制度、严重失职或营私舞弊给工厂造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，工厂可以合法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿。
协商解除：如果您与工厂协商一致解除劳动合同，工厂也无需支付赔偿，但应按照约定支付经济补偿（如有）。
其他合法情形：如劳动合同到期终止且工厂维持或提高待遇但您拒绝续签、您主动辞职等，工厂也无需支付赔偿。
若工厂开除您的理由不属于上述合法情形，则工厂可能构成违法解除劳动合同，您有权要求工厂支付赔偿金。
二、计算应得的赔偿金额
若工厂违法解除劳动合同，您有权要求工厂按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿的计算标准如下：
计算标准：根据您在工厂的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = (工作年限 × 月平均工资) × 2
示例：如果您在工厂工作了3年，月平均工资为5000元，则工厂应支付的赔偿金为：5000元/月 × 3年 × 2 = 30000元。
三、收集证据并维权
收集证据：您需要收集与工厂解除劳动合同相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、解除通知书、沟通录音、证人证言等。这些证据将有助于您证明工厂违法解除劳动合同的事实。
协商：在收集好证据后，您可以先尝试与工厂进行协商，要求工厂支付赔偿金。如果工厂同意支付，您可以与工厂签订书面协议，明确赔偿金额和支付时间。
申请劳动仲裁：如果协商不成，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、证据材料等。劳动争议仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。
提起诉讼：如果您对劳动仲裁结果不服，还可以向法院提起诉讼。法院将依法进行审理，并作出判决。
四、其他相关权益保障
除了赔偿金外，您还可以关注以下相关权益保障：
社保与档案转移：工厂应在解除劳动合同后15日内为您办理社保减员及档案转移手续。如果工厂未按时办理，您可以向相关部门投诉。
未休年假补偿：如果工厂未安排您休年假且未支付未休年假工资报酬，您可以要求工厂按日工资的200%支付未休年假工资报酬（已正常支付工资的，补足差额）。
最后，我建议您在维权过程中保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。