行政机关一般不能直接起诉被开除的职员要求返还工资，但特定情形下可通过合法途径追回不当支付的工资。以下是对此问题的详细分析：
一、行政机关与职员之间的法律关系
行政机关与职员之间通常存在劳动关系，这种关系受《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》等法律法规的调整。在劳动关系中，行政机关作为用人单位，有义务按照劳动合同的约定和国家规定，向职员支付劳动报酬。
二、行政机关起诉职员返还工资的合法性分析
一般情况下的不合法性：
- 在正常的劳动关系中，行政机关支付工资是履行其作为用人单位的法定义务。如果行政机关无故要求职员返还已支付的工资，这通常缺乏法律依据，也不符合劳动法的原则。
特定情形下的合法性：
- 如果行政机关能够证明职员存在欺诈、胁迫等手段骗取工资，或者职员因个人原因给行政机关造成了重大损失，且该损失与工资支付有直接关联，那么行政机关可能通过合法途径（如劳动争议仲裁或诉讼）要求职员返还部分或全部工资。但这种情况需要严格的证据支持，并且必须遵循法律规定的程序。
- 另外，如果职员被开除是因为违反了行政机关的规章制度或法律法规，且该违规行为与工资支付有直接关系（如职员利用职务之便侵占单位财物等），行政机关也可能在特定情况下要求职员返还不当得利。
三、行政机关追回工资的合法途径
劳动争议仲裁：
- 行政机关可以先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求职员返还不当支付的工资。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。
民事诉讼：
- 如果仲裁结果不满意，行政机关还可以向人民法院提起民事诉讼，要求职员返还工资。在诉讼过程中，行政机关需要提供充分的证据证明职员存在不当得利的行为。
四、法律建议
完善内部管理制度：
- 行政机关应建立健全内部管理制度，明确工资支付的标准和条件，防止因管理不善导致的不当支付。
加强证据收集：
- 如果行政机关认为职员存在不当得利的行为，应及时收集相关证据，如工资支付记录、职员违规行为的证据等，以便在仲裁或诉讼过程中提供有力的支持。
遵循法律程序：
- 行政机关在追回工资的过程中，必须严格遵循法律规定的程序，不得采取非法手段进行追讨。
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