即使没有签订书面合同，为私人老板工作时遭遇纠纷，劳动者依然可以申请劳动仲裁来维护自己的权益。以下是详细的分析和建议：
一、法律依据与事实劳动关系认定
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。然而，未签订书面劳动合同并不影响双方事实劳动关系的认定。只要劳动者能证明与老板之间存在事实上的劳动关系，就可以通过劳动仲裁来维护自己的权益。
二、证明劳动关系的证据收集
在申请劳动仲裁时，劳动者需要提供证据来证明与老板之间存在劳动关系。这些证据可以包括：
- 工资支付凭证：如银行转账记录、现金收条等，能证明老板向劳动者支付了工资。
- 工作证、服务证：如果老板发放了工作证或服务证，这些证件可以作为证明劳动关系的证据。
- 考勤记录：如打卡记录、签到表等，能证明劳动者在老板处工作的时间和出勤情况。
- 同事证言：其他同事的证言也可以作为证明劳动关系的证据，尤其是当同事能证明劳动者在老板处工作且未签订书面合同时。
- 其他证据：如工作记录、聊天记录、与老板沟通的记录等，只要能证明劳动者与老板之间存在劳动关系，都可以作为证据提交。
三、申请劳动仲裁的流程
- 提交仲裁申请书：劳动者需要向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，写明双方的基本信息、仲裁请求以及事实和理由。在申请书中，劳动者可以要求老板支付拖欠的工资、双倍工资赔偿（如果未签订书面合同）以及其他可能的补偿。
- 仲裁委员会受理：仲裁委员会在收到申请后，会在5日内决定是否受理。如果受理，会通知双方并安排开庭时间。
- 开庭审理：在开庭时，双方需要举证、质证和辩论。劳动者需要提交之前收集的证据来证明与老板之间存在劳动关系以及老板的违法行为。
- 裁决：仲裁庭会在受理之日起45日内作出裁决。如果案情复杂，可以延长15日。裁决后，如果老板不履行裁决结果，劳动者可以向法院申请强制执行。
四、注意事项与建议
- 及时收集证据：劳动者在发现老板未签订书面合同或拖欠工资时，应及时收集证据来证明劳动关系和老板的违法行为。
- 注意仲裁时效：劳动者需要在规定的时效内申请劳动仲裁。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 寻求法律帮助：如果劳动者对劳动仲裁流程不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、代理申请劳动仲裁等服务。
举例说明：假设小李为私人老板张某工作，但双方未签订书面合同。张某拖欠了小李数月的工资。小李可以收集银行转账记录（证明张某曾支付工资）、工作证（如果有）、与张某的聊天记录（证明工作关系和拖欠工资的事实）等证据。然后，小李可以向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，要求张某支付拖欠的工资和双倍工资赔偿。仲裁委员会受理后，会安排开庭审理并作出裁决。
如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。