结论：即使没有签订劳动合同且没有之前的聊天记录，你仍然可以通过收集其他证据来证明与私人老板之间存在事实劳动关系，并据此申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
一、证据收集
尽管没有书面劳动合同和聊天记录，但你可以通过以下方式收集证据来证明与私人老板之间存在事实劳动关系：
工资支付记录：
- 银行转账流水（如果老板通过银行转账支付工资，可以打印出转账记录，并标注“工资”字样）。
- 现金签收单（如果老板以现金形式支付工资，可以要求老板出具签收单，并签字或盖章）。
- 微信/支付宝转账记录（如果老板通过微信或支付宝转账支付工资，可以截图保存转账记录，并附上备注说明是工资）。
工作痕迹证明：
- 工作群聊天记录（如果有其他工作群，且群内有工作安排、考勤打卡等记录，可以截图保存）。
- 工作邮件往来（如果老板通过邮件分配工作任务，可以保存相关邮件）。
- 工牌/工服照片（如果有工牌或工服，且上面带有公司名称或标识，可以拍照保存）。
- 同事证言（如果有同事愿意作证，可以请他们出具书面证言，并配合其他客观证据一起使用）。
业务关联凭证：
- 客户签单记录（如果老板让你负责与客户签单，可以保存签单记录，并注明你的经办人身份）。
- 业务报表/工作总结（如果老板要求你提交业务报表或工作总结，可以保存这些文件）。
- 工作场所出入证（如门禁卡、钥匙等，如果老板给你发放了工作场所的出入证，可以保存这些证件）。
二、申请劳动仲裁
在收集到足够证据后，你可以向用工所在地或公司注册地的劳动争议仲裁委员会提交材料，申请劳动仲裁。具体流程如下：
准备材料：
- 仲裁申请书（详细陈述你的仲裁请求、事实和理由）。
- 身份证明（身份证复印件）。
- 证据材料（上述收集到的各类证据）。
提交申请：
- 将准备好的材料提交给劳动争议仲裁委员会。
- 仲裁委员会会审查你的申请，并决定是否受理。
参加仲裁庭审：
- 如果仲裁委员会受理了你的申请，会安排庭审。
- 在庭审中，你需要出示证据，并陈述你的仲裁请求和事实理由。
- 老板（或其代表）也会进行答辩，并出示相关证据。
等待裁决：
- 仲裁委员会会根据双方提供的证据和陈述，作出裁决。
- 如果裁决支持你的诉求，老板需要履行裁决义务；如果老板拒不履行，你可以向法院申请强制执行。
三、主张事项
在申请劳动仲裁时，你可以主张以下事项：
未签合同双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，你可以主张最多11个月的双倍工资差额。
补缴社会保险费用：
- 如果老板没有为你缴纳社会保险费用，你可以要求老板补缴。
结清拖欠工资及经济补偿金：
- 如果老板拖欠你的工资，你可以要求老板结清拖欠的工资，并根据情况主张经济补偿金。
四、注意事项
时效要求：
- 申请劳动仲裁的时效为一年，自你知道或应当知道权益受损之日起计算。因此，你需要尽快行动，以免错过时效。
举证责任：
- 在劳动仲裁中，你需要提供初步证据证明与老板之间存在劳动关系。老板则需要对工资标准、考勤记录等承担举证责任。因此，你需要尽可能收集充分的证据来支持你的诉求。
后续法律救济措施：
- 如果对仲裁结果不服，你可以在15日内向人民法院提起诉讼。
- 同时，你也可以向劳动监察部门举报老板的违法行为。
如果你在收集证据或申请劳动仲裁过程中遇到任何问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。