可以起诉。针对您提出的“私自引进病牛造成邻居牛死亡是否可以起诉”的问题，以下是从不同角度进行的详细分析：
一、法律责任角度
侵权责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，私自引进病牛的行为，如果导致了邻居牛的死亡，且该行为与牛的死亡之间存在因果关系，那么行为人很可能需要承担侵权责任。
- 侵权责任的具体承担方式可能包括赔偿损失等。赔偿的范围通常包括直接损失（如牛的死亡导致的经济损失）和可能的间接损失（如因牛死亡而导致的其他经济损失）。
动物防疫责任：
- 如果私自引进的病牛违反了动物防疫的相关规定，如未进行必要的检疫或隔离措施，那么行为人还可能面临动物防疫部门的行政处罚。
- 在某些情况下，如果病牛的引进导致了疫情的扩散，行为人甚至可能承担刑事责任。
二、起诉条件与流程
起诉条件：
- 原告（即邻居）需要与本案有直接利害关系，即其牛的死亡与私自引进病牛的行为有因果关系。
- 需要有明确的被告，即私自引进病牛的行为人。
- 需要有具体的诉讼请求和事实、理由，即要求被告赔偿损失，并说明被告的行为如何导致了牛的死亡。
- 案件需要属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
起诉流程：
- 原告需要向法院提交起诉状，并附上相关证据材料。
- 法院在受理案件后，会进行审理，并可能要求双方进行举证、质证等。
- 法院会根据事实和法律规定作出判决，如果判决被告承担责任，被告需要履行判决义务。
三、建议与注意事项
收集证据：
- 邻居在起诉前应尽可能收集相关证据，如病牛的引进记录、牛的死亡证明、兽医的鉴定意见等，以证明被告的行为与牛的死亡之间存在因果关系。
咨询专业律师：
- 虽然我在此提供了法律分析，但具体案件的处理可能因地区、案件细节等因素而有所不同。因此，建议邻居在起诉前咨询专业律师，以获取更具体的法律建议。
考虑和解或调解：
- 在起诉前或诉讼过程中，双方也可以考虑通过和解或调解的方式解决纠纷，以节省时间和成本。
综上所述，私自引进病牛造成邻居牛死亡的情况下，邻居是有权起诉行为人的。在起诉前，邻居应收集相关证据，并考虑咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果需要进一步的法律帮助或咨询，请直接向我提问。