结论前置：邻居把狗毒死，你是可以起诉的。这既可能涉及民事赔偿，也可能涉及刑事责任，具体取决于狗的价值、投毒行为的性质及后果等因素。下面我从民事和刑事两个角度为你详细分析。
一、民事角度
财产损害赔偿：
- 狗作为你的私有财产，受到法律的保护。如果邻居故意毒死你的狗，这无疑构成对你财产权的侵犯。
- 你可以根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，要求邻居赔偿狗的价值损失。赔偿金额通常依据狗的购买费用、市场价值、饲养成本以及情感价值（虽难以量化，但在实际诉讼中可能作为考量因素）等因素综合确定。
证据收集与诉讼流程：
- 在提起民事诉讼前，你需要收集足够的证据来证明邻居的投毒行为以及狗的死亡与投毒行为之间的因果关系。证据可以包括现场照片、视频监控、目击证言、兽医的尸检报告等。
- 准备好证据后，你可以向法院提起民事诉讼，要求邻居承担财产损害赔偿责任。法院将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。
二、刑事角度
故意毁坏财物罪：
- 如果被毒死的狗价值较高，达到当地关于故意毁坏财物罪的立案标准（一般不低于5000元，具体标准可能因地区而异），则邻居可能因故意毁坏公私财物而面临刑事追诉。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条的规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
投放危险物质罪：
- 如果邻居的投毒行为不仅毒死了你的狗，还危及了公共安全，比如在小区公共区域投放毒药，导致多只宠物狗中毒死亡，甚至有可能危及居民安全，则可能构成投放危险物质罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条的规定，放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。
报案与侦查流程：
- 如果你认为邻居的投毒行为构成犯罪，应立即向公安机关报案。公安机关将进行初步调查，包括询问事情经过、查看现场、搜集证据等。
- 如发现有人故意投毒或其他犯罪行为，公安机关将立案侦查，并依法追究相关人员的刑事责任。
三、特殊情况与建议
无证狗的情况：
- 如果你的狗是无证狗，虽然这可能不影响你主张民事赔偿的权利，但在某些情况下，可能被视为非法物品，其受损由你自己承担一定责任。不过，这并不影响你追究邻居故意毁坏财物的刑事责任（如果构成犯罪的话）。
主人责任：
- 如果你在遛狗时没有牵绳子，导致狗乱跑并被毒死，你可能需要对未尽到看管义务承担一定责任。这可能会影响民事赔偿的金额或刑事责任的认定。
建议与行动：
- 在遇到此类情况时，保持冷静和理智至关重要。先收集证据，然后考虑通过法律途径解决问题。
- 你可以先尝试与邻居协商解决，如果协商无果，再考虑提起民事诉讼或向公安机关报案。
总结：邻居把狗毒死是一个复杂的问题，既可能涉及民事赔偿，也可能涉及刑事责任。作为狗主人，你有权也有责任去追求法律途径来解决问题。在行动前做好充分的准备，提供尽可能多的证据给相关部门，将有助于他们更快地了解案件情况并展开调查。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。