当认为行政机关不履行法定职责时，可以向其上一级行政机关或同级人民政府的监察部门进行举报或申诉，也可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来认定行政机关不履行法定职责。以下是对此问题的详细分析：

一、向上级行政机关或监察机关举报申诉

1. 适用情况：当发现行政机关未履行其法定职责时，公民、法人或其他组织有权向该行政机关的上一级行政机关或同级人民政府的监察部门进行举报或申诉。

2. 投诉方式：可以通过书信、电子邮件、电话等多种方式进行。在投诉时，应详细说明行政机关未履行法定职责的具体情况，并提供相关证据材料。

3. 处理结果：上级行政机关或监察部门在接到举报或申诉后，会进行调查核实。如果认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其限期履行，并可能对相关责任人员进行问责。

二、申请行政复议

1. 适用情况：认为行政机关不履行法定职责侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内（法律规定的申请期限超过六十日的除外）提出行政复议申请。

2. 申请流程：

   • 向作出具体行政行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提交书面复议申请。
   • 附上相关证据材料，如行政机关未履行法定职责的证明、自身权益受损的证明等。

3. 处理结果：复议机关会对申请进行审查。如果认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内履行。如果复议决定未满足诉求，可以进一步提起行政诉讼。

三、提起行政诉讼

1. 适用情况：经过行政复议仍未解决，或直接认为行政机关不履行法定职责侵犯其合法权益的，可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。在紧急情况下，不受两个月期限的限制。

2. 诉讼流程：

   • 撰写行政起诉状，明确原告、被告信息，诉讼请求及事实和理由。
   • 准备好相关证据材料，如行政机关未履行法定职责的证明、自身权益受损的证明、行政复议决定书（如果已申请复议）等。
   • 向有管辖权的人民法院提交起诉状和证据材料。

3. 执行：如果行政机关在判决规定的期限内仍不履行，胜诉方可以申请法院强制执行。

四、注意事项

• 在进行举报、申诉、申请行政复议或提起行政诉讼时，应确保所提供的证据材料真实、合法、有效。
• 应遵循法定程序和时限要求，以免错过维权时机。
• 如果对法律程序不熟悉或担心自身权益无法得到有效保障，可以寻求专业律师的帮助。

建议：在面对行政机关不履行法定职责的情况时，公民、法人或其他组织应首先尝试通过向上级行政机关或监察机关举报申诉的方式解决问题。如果这种方式无法得到有效解决，再考虑申请行政复议或提起行政诉讼。在整个过程中，务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。