当行政机关不履行其法定职责时，公民、法人或其他组织确实有权依法采取一系列措施来维护自身权益，这主要包括提起行政诉讼以及要求行政机关承担相应的法律责任。以下是对这一问题的详细解析：

一、行政机关不履行法定职责的定义

行政机关不履行法定职责，指的是行政机关未能按照法律、法规或其他相关规定，履行其应当承担的职责或义务。这种不作为可能表现为拒绝履行、拖延履行或未完全履行等情形，且必须给公民、法人或其他组织的合法权益造成了实际损害。

二、法律后果与公民权利

1. 法律后果：根据《中华人民共和国国家赔偿法》等相关法律法规，行政机关因不履行法定职责给公民、法人或其他组织造成损害的，应承担赔偿责任。赔偿范围涵盖直接损失和合理的间接损失，且需通过法定程序进行索赔。

2. 公民权利：公民在认为行政机关不履行法定职责侵害其合法权益时，有权向人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行职责并承担法律责任。这是公民维护自身权益的重要法律途径。

三、具体处理流程

1. 确认违法程序：

   • 公民应首先收集证据，证明行政机关存在不履行法定职责的行为。
   • 向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，请求确认行政机关不履行职责的行为违法。

2. 提出赔偿请求：

   • 在行为被确认违法后，公民可以向行政机关提出赔偿请求，递交赔偿申请书。
   • 赔偿申请书应详细写明受害情况、赔偿要求、事实根据和理由，以便行政机关进行审查。

3. 协商与申诉：

   • 公民可以尝试与行政机关进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。
   • 若协商无果，公民可以向上级行政机关或有关监督机关提出申诉或控告，要求其对下级行政机关的不作为行为进行监督和处理。

4. 行政赔偿诉讼：

   • 若对赔偿决定不服或行政机关未在规定期限内作出决定，公民可以在法定期限内向人民法院提起行政赔偿诉讼。
   • 人民法院将依法审理案件，并作出判决或裁定，要求行政机关承担赔偿责任。

四、实际案例参考

以您提供的两个案例为例：

• 李先生诉某市自然资源和规划局不履行查处职责案：李先生因征收补偿标准过低向市自然资源和规划局提出查处申请，但该局未履行调查处理职责。李先生提起行政诉讼后，法院判决责令该局在一定期限内对申请事项进行调查处理，并将处理结果书面告知李先生。

• 某市民诉某区城市管理局不履行垃圾处理职责案：某区城市管理局停止了对小区垃圾的收集和清理工作，导致垃圾大量堆积。市民提起行政诉讼后，法院判决要求城市管理局立即恢复垃圾收集和清理工作，并支付赔偿金以弥补损失。

五、建议与指导

面对行政机关不履行法定职责的情况，我建议您：

• 积极收集证据：保留与行政机关沟通的记录、申请材料、相关法律法规等证据，以便在提起行政诉讼或赔偿请求时使用。
• 咨询专业律师：律师能够提供专业的法律分析和指导，帮助您更好地理解和运用法律知识来解决问题。
• 依法维权：通过法律途径维护自身权益，避免采取过激行为或非法手段。

总之，当行政机关不履行法定职责时，公民有权依法提起行政诉讼并要求赔偿。希望以上解答能够对您有所帮助。