当法院判决行政机关履行职责而行政机关不履行时，当事人可以通过以下法律途径来维护自己的合法权益：

1. 申请法院强制执行

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第九十五条和第九十六条，若行政机关拒绝履行人民法院的生效判决、裁定或调解书，第一审法院有权采取一系列强制措施。
   • 操作流程：
     • 当事人应向作出判决的第一审法院提交书面执行申请，附上生效法律文书及行政机关未履行的证明。
     • 法院审查后，若认为符合执行条件，将启动强制执行程序，包括但不限于通知银行从行政机关账户内划拨款项、冻结银行账户、查封或拍卖财产等。
     • 若涉及行为义务（如撤销违法决定），法院可通知相关单位协助执行。
   • 注意事项：申请执行的期限为两年，自法律文书规定履行期间最后一日起算。

2. 经济制裁与司法建议

   • 经济制裁：从判决规定的履行期间的最后一日起，第一审人民法院可以对拒不履行的行政机关负责人按日处五十元至一百元的罚款。
   • 司法建议：法院可以向监察机关或者该行政机关的上一级行政机关提出司法建议，要求责令改正；情节严重的，依法追究主管人员和直接责任人员的责任。

3. 社会公告与舆论压力

   • 法院还可以选择将行政机关拒绝履行的情况予以公告，通过媒体、网络等渠道向社会公开。这种公开方式会对行政机关的形象和声誉产生影响，借助社会舆论的压力，往往能促使行政机关更加重视并执行法院判决。

4. 追究刑事责任

   • 法律依据：若行政机关拒不履行判决、裁定、调解书，且社会影响恶劣，情节严重，构成犯罪的，如符合《中华人民共和国刑法》第三百一十三条关于拒不执行判决、裁定罪的构成要件，将依法追究刑事责任。
   • 实施步骤：在情节严重、社会影响恶劣的情况下，法院可对直接负责的主管人员和其他责任人员采取拘留措施，并移送司法机关追究刑事责任。

综合建议：

• 及时行动：一旦发现行政机关不履行判决，当事人应尽快采取行动，避免超过申请执行的期限。
• 保留证据：保存好行政机关未履行判决的证明材料，如催告函件、沟通记录等，以备后续维权之需。
• 专业支持：在处理此类复杂案件时，建议当事人寻求专业律师的协助，以确保法律程序合规有效，并最大限度地维护自己的合法权益。

示例说明： 假设某企业因行政机关的违法行政行为提起诉讼，并胜诉获得法院判决，要求行政机关退还违法收取的款项。然而，行政机关在判决生效后未履行退还义务。此时，该企业可以向作出判决的第一审法院申请强制执行，要求法院通知银行从行政机关账户内划拨应退还的款项。同时，企业还可以向法院申请对行政机关负责人按日处以罚款，并向监察机关或上一级行政机关提出司法建议，要求责令行政机关改正并追究相关责任人员的责任。若行政机关仍拒不履行，且情节严重，构成犯罪的，企业还可以向司法机关举报，要求追究行政机关直接负责的主管人员和其他责任人员的刑事责任。

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