当行政机关不履行职责时，你可以通过以下途径来维护自己的合法权益：

一、内部监督与救济途径

1. 向上级行政机关反映

   • 方式：你可以通过书信、电子邮件、电话等形式，向该行政机关的上级主管部门或本级人民政府反映问题，详细说明不履行职责的具体情况。
   • 适用情形：适用于一般工作失误或轻微违法的不作为情况。例如，基层市场监管部门对商户的违规行为未及时处理，你可以向其上级部门反映。

2. 行政复议

   • 方式：在知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外），你可以提出行政复议申请，提交复议申请书及相关证据材料。
   • 适用情形：适用于行政机关明确拒绝履行职责或在法定期限内未作答复，且该不作为对你的合法权益造成实际损害的情况。比如，环保部门未在规定期限内答复你公开环境影响评价报告的申请。
   • 流程：向作出具体行政行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提交书面复议申请，并附上相关证据材料。复议机关会对申请进行审查，若认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，可责令其在一定期限内履行。

二、外部监督与司法救济途径

1. 向监察机关举报

   • 方式：通过监察机关的举报渠道（如电话、网站、来信来访等）进行举报，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
   • 适用情形：涉及公职人员违法违纪行为的不作为。例如，税务部门工作人员故意拖延你的退税申请，可能存在违法违纪行为。

2. 向人民法院提起行政诉讼

   • 方式：撰写行政起诉状，明确被告行政机关信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料，向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 适用情形：其他途径无法解决问题，且行政机关的不作为严重侵犯你的合法权益。比如，规划部门无正当理由拒绝办理你的建设工程规划许可证。
   • 流程：包括起诉、受理、审理和判决四个阶段。若行政机关在判决规定的期限内仍不履行，你可以申请法院强制执行。

3. 申请强制执行

   • 适用情形：在行政诉讼中，若法院已作出要求行政机关履行法定职责的判决或裁定，但行政机关拒不执行的，你可以申请人民法院强制执行。
   • 执行措施：人民法院可采取划拨罚款、对应付款项进行强制执行、对行政机关负责人进行罚款、公告行政机关拒绝履行情况等多种措施。

三、寻求法律赔偿

• 适用情形：若行政机关的拒不履行行为给你造成了实际损失，你可以依法提起国家赔偿请求。
• 赔偿范围：涵盖直接损失和合理的间接损失，包括财产损害赔偿（如直接财产损失、合理的间接损失）、人身损害赔偿（如医疗费、护理费、误工费等，造成死亡的还应支付死亡赔偿金、丧葬费等）以及精神损害赔偿（若行政机关不履行职责的行为造成精神损害）。
• 流程：在行政诉讼中，若法院认定行政机关的不作为行为给你造成了损害，行政机关应承担相应的赔偿责任。你需要按照法定程序提交赔偿申请及相关证据材料。

四、借助社会力量

• 媒体曝光
  • 方式：向报纸、电视台、网络媒体等反映行政机关不履行职责的情况，确保提供的信息真实准确。
  • 适用情形：行政机关不履行职责涉及公共利益，且其他途径效果不佳时。比如，地方政府对垃圾处理不及时导致环境污染，居民可通过媒体曝光引起社会关注。

在采取上述任何措施前，请务必保存好向行政机关提出申请的证据，这是证明行政机关不作为的重要依据。同时，建议你根据实际情况和具体需求，选择合适的维权方式。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和指导。