当您认为行政机关未履行法定职责时，可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 明确不履行法定职责的情形

首先，需要明确“不履行法定职责”的具体含义。这包括拒绝履行、拖延履行、消极不作为（如回避或推诿责任）以及不完全履行等情形。例如，环保部门对违法排污行为未及时查处，即属于不履行环境保护的监管职责。

2. 收集证据

在采取任何行动之前，务必保存好与行政机关沟通的记录，如申请书、回复函件、电子邮件等。同时，收集证明行政机关应履行职责的相关法律法规依据。这些证据将是后续维权的重要依据。

3. 提出正式申请

以书面形式向行政机关提交履行职责的申请，明确要求其在法定期限内作出答复或采取行动。在申请中，应详细说明行政机关未履行职责的具体情况，以及该不作为对您造成的实际影响。

4. 内部监督途径

• 向上级行政机关反映：通过书信、电子邮件、电话等形式向该行政部门的上级主管部门或本级人民政府反映问题，详细说明不履行职责的具体情况。
• 行政复议：在知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外）提出行政复议申请，提交复议申请书及相关证据材料。复议机关会对申请进行审查，若认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，可责令其在一定期限内履行。

5. 外部监督途径

• 向监察机关举报：如果涉及公职人员违法违纪行为的不作为，如税务部门工作人员故意拖延退税申请，可以通过监察机关的举报渠道进行举报，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
• 向人民法院提起行政诉讼：若其他途径无法解决问题，且行政部门的不作为严重侵犯您的合法权益，如规划部门无正当理由拒绝办理建设工程规划许可证，您可以撰写行政起诉状，明确被告行政部门信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料，向有管辖权的人民法院提起诉讼。

6. 借助社会力量

• 媒体曝光：如果行政部门不履行职责涉及公共利益，且其他途径效果不佳时，如地方政府对垃圾处理不及时导致环境污染，居民可以通过媒体曝光引起社会关注。但需注意，提供的信息必须真实准确，避免造成不必要的法律纠纷。

7. 申请强制执行与寻求法律救济

• 申请强制执行：在行政诉讼中，若法院已作出要求行政机关履行法定职责的判决或裁定，但行政机关拒不执行的，您可以申请人民法院强制执行。
• 寻求法律救济（如国家赔偿）：若行政机关的拒不履行行为给您造成了实际损失，受损方可依法提起国家赔偿请求。在行政诉讼中，若法院认定行政机关的不作为行为给原告造成了损害，行政机关应承担相应的赔偿责任。

8. 注意事项

• 遵守法定程序：在申请行政复议或提起行政诉讼时，必须严格遵守法律规定的程序和期限。
• 理性表达诉求：在与行政机关沟通或通过法律途径维权时，应保持冷静和理性，避免情绪化的表达方式。
• 关注法律更新：由于法律法规可能会发生变化，建议定期关注相关法律动态，确保自己的权益得到最新法律的保护。

面对行政机关未履行法定职责的情况，您应首先尝试通过内部监督途径解决问题；若内部监督无效，则转向外部监督途径；在必要时，还可借助社会力量引起广泛关注。在整个过程中，保持冷静、理性，并注重证据的收集和保存，是维护自身权益的关键。如果您有任何法律问题，可以直接向我咨询。