面对行政机关人员拒不执行履行法定职责的情况，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
结论前置：您可以通过内部监督（如向上级反映、行政复议）、外部监督（如向监察机关举报、向人民法院提起行政诉讼）以及借助社会力量（如媒体曝光）等途径来促使行政机关履行职责。
一、内部监督途径
向上级行政机关反映：
- 您可以通过书信、电子邮件或电话等形式，向该行政机关的上级主管部门或本级人民政府反映问题，详细说明行政机关不履行职责的具体情况。
- 这种方式适用于一般的工作失误或轻微违法的不作为情况。
行政复议：
- 在知道行政机关不履行法定职责之日起六十日内（法律另有规定的除外），您可以向作出具体行政行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提出行政复议申请。
- 复议机关会对申请进行审查，若认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，可责令其在一定期限内履行。
二、外部监督途径
向监察机关举报：
- 您可以通过监察机关的举报渠道（如电话、网站、来信来访等）进行举报，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
- 这种方式适用于涉及公职人员违法违纪行为的不作为情况。
向人民法院提起行政诉讼：
- 若其他途径无法解决问题，且行政机关的不作为严重侵犯了您的合法权益，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 在诉讼过程中，您需要撰写行政起诉状，明确被告行政机关信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料。
- 若法院认定行政机关存在不履行法定职责的行为，可判决其在一定期限内履行，并可对行政机关及其工作人员进行相应处罚。
三、借助社会力量
- 媒体曝光：
- 若行政机关不履行职责涉及公共利益，且其他途径效果不佳时，您可以通过媒体（如报纸、电视台、网络媒体等）进行曝光，以引起社会关注。
- 在曝光过程中，请确保提供的信息真实准确，避免误导公众。
四、法律依据与证据收集
- 法律依据：根据《行政诉讼法》等相关法律法规，公民、法人或其他组织有权要求行政机关履行法定职责，并在必要时提起行政诉讼。
- 证据收集：在采取任何措施前，请务必收集相关证据，以证明行政机关确实存在不履行职责的行为。这些证据可能包括书面文件、电子邮件、录音录像、证人证言等。
综上所述，面对行政机关人员拒不执行履行法定职责的情况，您应首先尝试通过内部监督途径解决问题；若内部监督无效，则转向外部监督途径；在必要时，还可借助社会力量引起广泛关注。在整个过程中，请保持冷静、理性，并注重证据的收集和保存。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。