当行政机关不履行法定职责时，您确实有多种法律途径可以选择来维护自身权益。以下是一些详细且有条理的建议，希望能帮助您有效应对这一问题：

一、内部监督途径

1. 向上级行政机关反映

   • 方式：您可以通过书信、电子邮件或电话等形式，向该行政机关的上级主管部门或本级人民政府详细反映不履行职责的具体情况。
   • 适用情形：这适用于一般性的工作失误或轻微违法的不作为情况。例如，如果基层市场监管部门对商户的违规行为未及时处理，您就可以向其上级部门反映。

2. 行政复议

   • 方式：在知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外），您可以向作出该行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提交书面复议申请，并附上相关证据材料。
   • 适用情形：当行政机关明确拒绝履行职责或在法定期限内未作答复，且这种不作为对您的合法权益造成了实际损害时，行政复议是一个有效的选择。比如，环保部门未在规定期限内答复您公开环境影响评价报告的申请。

二、外部监督途径

1. 向监察机关举报

   • 方式：您可以通过监察机关的举报渠道，如电话、网站或来信来访等，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
   • 适用情形：如果涉及公职人员违法违纪行为的不作为，如税务部门工作人员故意拖延退税申请，您就可以向监察机关举报。

2. 向人民法院提起行政诉讼

   • 方式：在撰写行政起诉状时，请明确被告行政机关的信息、诉讼请求、事实和理由，并收集好相关证据材料，然后向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 适用情形：当其他途径无法解决问题，且行政机关的不作为严重侵犯了您的合法权益时，行政诉讼是最后的法律救济手段。例如，规划部门无正当理由拒绝办理建设工程规划许可证。

三、申请强制执行与法律救济

1. 申请强制执行

   • 适用情况：在行政诉讼中，如果法院已作出要求行政机关履行法定职责的判决或裁定，但行政机关拒不执行，您可以申请人民法院强制执行。
   • 执行措施：人民法院可以采取多种措施，如划拨罚款、对应付款项进行强制执行、对行政机关负责人进行罚款、公告行政机关拒绝履行情况等。

2. 寻求法律救济（如国家赔偿）

   • 适用情况：如果行政机关的拒不履行行为给您造成了实际损失，您可以依法提起国家赔偿请求。
   • 赔偿流程：在行政诉讼中，如果法院认定行政机关的不作为行为给您造成了损害，行政机关应承担相应的赔偿责任。您需要按照法定程序提交赔偿申请及相关证据材料。

四、其他建议

• 保存证据：在采取任何措施前，请务必保存好向行政机关提出申请的证据，这是证明行政机关不作为的重要依据。
• 咨询专业律师：根据实际情况和具体需求，选择合适的维权方式，并在必要时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。

综上所述，面对行政机关不履行法定职责的情况，您有多种法律途径可以选择来维护自身权益。请保持冷静、理性，并注重证据的收集和保存，这是确保自身权益得到有效保障的关键。