当行政机关不履行法定义务时，其应当承担相应的法律责任。以下是对此问题的全面解析：
一、核心结论
行政机关不履行法定义务，即构成行政不作为，可能面临以下责任：
- 被诉诸法律：公民、法人或其他组织有权向人民法院提起行政诉讼，请求确认行政机关不履行法定职责的行为违法。
- 承担赔偿责任：若行政机关的不作为导致公民、法人或其他组织的合法权益受到损害，行政机关需依法承担赔偿责任，赔偿范围包括直接损失和合理的间接损失。
二、法律依据与构成要件
- 法律依据：根据《中华人民共和国国家赔偿法》等相关法律法规，行政机关及其工作人员在行使行政职权时，有法定职责而不履行，造成损害的，受害人有取得赔偿的权利。
- 构成要件：
- 行政机关具有法定职责；
- 行政机关未履行或拖延履行其法定职责；
- 公民、法人或其他组织的合法权益因此受到损害；
- 损害结果与行政机关的不作为之间存在因果关系。
三、赔偿范围与程序
赔偿范围：
- 财产损害赔偿：包括直接财产损失及合理的间接损失；
- 人身损害赔偿：如医疗费、护理费、误工费等，甚至包括死亡赔偿金、丧葬费等；
- 精神损害赔偿：在特定情况下，如行政机关的不作为导致精神损害，也应支付相应的精神损害抚慰金。
赔偿程序：
- 确认违法程序：首先通过行政诉讼确认行政机关的不作为行为违法；
- 提出赔偿请求：向行政机关提出赔偿请求，并递交详细的赔偿申请书；
- 协商与申诉：尝试与行政机关协商赔偿事宜，若协商无果，可向上级行政机关或有关监督机关提出申诉或控告；
- 行政赔偿诉讼：若对赔偿决定不服或行政机关未在规定期限内作出决定，可向人民法院提起行政赔偿诉讼。
四、实际案例与启示
在实际案例中，行政机关因不履行法定职责而被判赔偿的情况屡见不鲜。例如，某市场监管部门未及时处理消费者的投诉，导致消费者遭受经济损失，最终该部门被判承担赔偿责任。这启示我们，行政机关应严格履行其法定职责，否则将可能面临法律追究和赔偿责任。
五、建议与指导
面对行政机关不履行法定职责的情况，公民、法人或其他组织应积极采取措施维护自己的权益。首先，应了解相关法律法规和行政机关的法定职责；其次，若行政机关不作为导致权益受损，应及时收集证据并通过法律途径寻求救济；最后，在必要时可咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
综上所述，行政机关不履行法定义务将承担严重的法律责任，包括被诉诸法律和承担赔偿责任。因此，行政机关应严格依法履职，避免不作为行为的发生。同时，公民、法人或其他组织也应积极维护自己的权益，通过法律途径寻求救济。