行政机关不履行法定职责的认定是一个复杂而细致的过程，它涉及到对行政机关行为的多方面考察和判断。以下是我为您详细梳理的认定标准：

一、行政相对人违法行为是否停止

首先，我们需要观察行政相对人的违法行为是否因行政机关的介入而停止。如果行政机关已经作出了行政处罚决定或其他相关措施，但行政相对人的违法行为并未因此停止，那么这可以作为一个判断行政机关未履行法定职责的重要标准。例如，在某环保案件中，环保局虽然对公司作出了责令改正和罚款的决定，但公司仍在生产且环保设施不符合标准，这就表明环保局未充分履行其法定职责。

二、行政机关是否穷尽法律手段

其次，我们要考察行政机关是否已经穷尽了所有法律手段来履行其职责。根据相关法律规定，当事人在法定期限内未履行行政处罚决定的，行政机关应采取催告、加处罚款等方式督促其履行。经催告无效后，行政机关还可以作出强制执行决定或申请法院强制执行。如果行政机关在收到检察建议后仍未采取有效措施纠正违法行为，那么就可以认定其怠于履行法定职责。

三、行政机关拒绝履行法定职责是否有法定理由

再者，我们需要判断行政机关拒绝履行法定职责是否有合理的法定理由。在某些情况下，行政机关可能会以各种理由拒绝履行其职责，但这些理由必须是在法律框架内且合理的。如果行政机关拒绝履行的理由无法律依据或不合理，那么就可以认定其不履行法定职责。例如，在某农机补贴案件中，农机站以“无资格和权力收回已发放的补贴资金”为由拒绝履行职责，但根据规定，农机站和财政局都是共同作出机关，也是收回资金的会同机关，具有收回违法补贴的法定职责，因此农机站的拒绝理由不成立。

四、行政机关职责的法律依据及范围

在认定行政机关不履行法定职责时，我们还需要明确行政机关的职责法律依据及范围。这包括法律、法规、规章以及各种规范性文件等。同时，我们还要考虑行政机关的“三定”方案、权力清单和责任清单等，这些都可以作为认定行政机关职责的依据。此外，如果行政机关基于先行行为、行政允诺或行政协议而形成了新的职责，那么这些职责也应当被纳入考虑范围。

五、区分柔性和刚性法定职责

最后，我们还需要区分行政机关的柔性和刚性法定职责。柔性的管理职责一般只是笼统地作出规定，并未明确具体措施；而刚性的监管职责则规定了具体的管理措施。在认定行政机关不履行法定职责时，我们需要根据职责的性质来采取相应的监督措施。对于柔性职责，检察机关在制发检察建议和提起诉讼时，应相对抽象地提出要求；而对于刚性职责，则可以更具体地描述行政机关应采取的措施。

综上所述，认定行政机关不履行法定职责需要综合考虑多个方面，包括行政相对人违法行为是否停止、行政机关是否穷尽法律手段、拒绝履行法定职责是否有法定理由、行政机关职责的法律依据及范围以及区分柔性和刚性法定职责等。