行政机关不履行法定职责，将会面临一系列严重的法律后果。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
行政复议与行政诉讼中的不利后果：
- 行政复议：如果行政机关不履行法定职责，相对人（即受到影响的公民、法人或其他组织）有权向上一级行政机关或法律规定的行政复议机关提出复议申请。在行政复议过程中，若查明行政机关确实存在不履行法定职责的情形，复议机关将作出撤销、变更或确认违法的复议决定，并可能责令行政机关在一定期限内履行职责。
- 行政诉讼：相对人也有权直接向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决行政机关履行法定职责。若法院认定行政机关不履行法定职责，将判决行政机关在一定期限内履行，并可能根据具体情况判决行政机关承担赔偿责任。
国家赔偿的责任：
- 根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，行政机关及其工作人员在行使行政职权时，有侵犯公民、法人和其他组织合法权益的情形，造成损害的，受害人有依照本法取得国家赔偿的权利。若行政机关不履行法定职责，导致相对人合法权益受损，行政机关可能需要承担国家赔偿责任。
对行政机关及其工作人员的处分：
- 行政机关不履行法定职责，还可能对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予处分。这包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等行政处分，具体根据情节轻重和造成的后果来决定。
影响行政机关的公信力和形象：
- 行政机关不履行法定职责，不仅会对相对人造成损害，还会严重影响行政机关的公信力和形象。这可能导致公众对行政机关的信任度降低，进而影响行政机关在社会治理中的效能和权威性。
举例说明：
假设某市民向当地环保部门举报一家企业违法排放污染物，但环保部门在收到举报后未及时进行调查处理，导致该企业继续违法排放，对周边环境造成严重污染。在此情况下，该市民有权向上一级环保部门或当地政府提出行政复议申请，要求复议机关责令原环保部门履行调查处理职责。同时，该市民也可以直接向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决环保部门履行职责并赔偿因污染造成的损失。若法院认定环保部门确实存在不履行法定职责的情形，将依法作出相应判决。
建议：
- 对于行政机关不履行法定职责的情况，相对人应积极行使自己的权利，通过行政复议或行政诉讼等途径维护自己的合法权益。
- 行政机关应加强内部管理，确保工作人员依法履行职责，避免类似情况的发生。
- 公众也应增强法律意识，了解自己的权利和义务，积极监督行政机关的行为，共同维护社会的公平正义和法治秩序。
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