当行政机关不履行其法定职责时，公民、法人或其他组织确实有多种法律途径来维护自身的合法权益。以下是根据相关法律法规，为您详细解析的法律依据及处理流程：
一、法律依据
《中华人民共和国行政复议法》：
- 该法规定了公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责时，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内（法律规定的申请期限超过六十日的除外）提出行政复议申请。
- 复议机关会对申请进行审查，若认定行政机关确实存在不履行法定职责的情况，可责令其在一定期限内履行。
《中华人民共和国行政诉讼法》：
- 该法允许公民、法人或其他组织在认为行政机关不履行法定职责侵犯其合法权益时，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 法院会经过起诉、受理、审理和判决四个阶段，若认定行政机关不履行法定职责，可判决其履行，并可能要求其承担赔偿责任。
《中华人民共和国国家赔偿法》：
- 若行政机关的拒不履行行为给公民、法人或其他组织造成了实际损失，受损方可依法提起国家赔偿请求。
- 在行政诉讼中，若法院认定行政机关的不作为行为给原告造成了损害，行政机关应承担相应的赔偿责任。
二、处理流程
行政复议：
- 申请：向作出具体行政行为的行政机关的上一级主管部门或本级人民政府提交书面复议申请，并附上相关证据材料。
- 审查：复议机关会对申请进行审查，包括调查取证、听取双方意见等。
- 决定：若认定行政机关不履行法定职责，复议机关会作出责令其履行的决定。
行政诉讼：
- 起诉：撰写行政起诉状，明确原告、被告信息，诉讼请求及事实和理由，并准备好相关证据材料。
- 受理：法院会对起诉进行审查，符合条件的会予以受理。
- 审理：法院会组织双方进行庭审，听取双方意见，审查证据。
- 判决：法院会根据审理情况作出判决，若认定行政机关不履行法定职责，会判决其履行，并可能要求其承担赔偿责任。
向上级行政机关或监察机关举报申诉：
- 投诉：可通过书信、电子邮件、电话、走访等方式向行政机关的上级行政机关或同级人民政府的监察部门进行举报或申诉。
- 调查：相关监督部门会对投诉进行调查核实。
- 处理：根据调查结果，相关监督部门会对行政机关及其工作人员进行处理，督促其履行职责。
申请强制执行：
- 适用：在行政诉讼中，若法院已作出要求行政机关履行法定职责的判决或裁定，但行政机关拒不执行的，可申请人民法院强制执行。
- 执行：人民法院可采取划拨罚款、对应付款项进行强制执行、对行政机关负责人进行罚款、公告行政机关拒绝履行情况等多种措施。
三、注意事项
- 在采取上述任何措施前，请务必保存好向行政机关提出申请的证据，如申请书、邮寄凭证、电子邮件截图等，这是证明行政机关不作为的重要依据。
- 建议根据实际情况和具体需求，选择合适的维权方式。若对法律程序不熟悉，可咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。
综上所述，面对行政机关不履行法定职责的情况，公民、法人或其他组织有多种法律途径可以选择来维护自身权益。选择合适的维权方式，并遵循法定程序进行操作，是确保自身权益得到有效保障的关键。