行政事业单位不履行法院判决的，当事人可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 申请强制执行：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当一方当事人不履行法院判决时，另一方当事人有权向法院申请强制执行。
   • 操作流程：当事人需向第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院提交强制执行申请书，并提供相关证据材料，如判决书、生效证明等。法院在受理申请后，会依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结或拍卖等措施，以强制其履行判决义务。

2. 向上级行政机关或纪检监察机关反映：

   • 行政监督：行政事业单位作为国家机关或公共机构，其行为受到上级行政机关的监督。如果行政事业单位不履行法院判决，当事人可以向其上级行政机关反映情况，要求上级机关进行督促或处理。
   • 纪检监察：同时，当事人也可以向纪检监察机关举报行政事业单位的违法行为，纪检监察机关会依法进行调查处理，对相关责任人进行问责。

3. 寻求法律援助或咨询专业律师：

   • 法律援助：如果当事人经济困难或缺乏法律知识，可以向当地法律援助机构申请法律援助，获得专业的法律帮助。
   • 专业律师：当事人也可以直接咨询专业律师，了解具体的法律途径和维权策略。律师会根据当事人的具体情况，提供个性化的法律建议和帮助。

4. 考虑提起行政诉讼（如涉及行政行为）：

   • 特殊情况：如果行政事业单位的不履行判决行为涉及具体的行政行为，且该行为侵犯了当事人的合法权益，当事人还可以考虑提起行政诉讼，要求法院撤销或变更该行政行为，并判决行政事业单位履行相应的义务。
   • 注意：但这一途径通常适用于行政行为本身存在违法或不当的情况，而非单纯的不履行判决。

在采取上述措施时，当事人需要注意以下几点：

• 保留证据：确保保留好所有与案件相关的证据材料，如判决书、生效证明、申请强制执行的材料等，以便在需要时提供证明。
• 及时行动：一旦发现行政事业单位不履行判决，应尽快采取行动，避免超过法定的申请执行期限或其他相关期限。
• 理性维权：在维权过程中，保持理性态度，遵守法律法规和程序要求，避免采取过激或违法的行为。

若行政事业单位的不履行判决行为给当事人造成了损失，当事人还可以依法要求赔偿。具体赔偿方式和标准需根据案件的具体情况和相关法律法规来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。