当行政机关不履行民事判决时，这确实是一个涉及法律权威性和行政法治原则的重要问题。作为专业律师，我将从多个角度为你详细分析并给出建议。

一、法律依据与救济途径

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国行政诉讼法》第九十六条的规定，行政机关如果拒绝履行判决、裁定或调解书，第一审人民法院有权采取一系列措施来促使其履行。这些措施包括但不限于：

1. 通知银行从账户划拨：对于应当归还的罚款或应给付的款项，法院可以通知银行直接从该行政机关的账户内划拨。

2. 对行政机关负责人罚款：如果行政机关在规定期限内不履行判决，法院可以对该行政机关负责人按日处以五十元至一百元的罚款。

3. 公告拒绝履行情况：法院还可以将行政机关拒绝履行的情况予以公告，以形成社会舆论压力。

4. 提出司法建议：法院可以向监察机关或该行政机关的上一级行政机关提出司法建议，要求这些机关依法处理并答复。

5. 追究刑事责任：在情节严重的情况下，如果行政机关的不执行行为构成犯罪，还会依法追究主管人员和直接责任人员的刑事责任。

二、具体应对措施

了解了法律依据后，我们可以采取以下具体措施来维护自身合法权益：

1. 申请强制执行：

   • 准备材料：包括生效判决书、执行申请书、身份证明等。
   • 提交申请：向作出判决的第一审法院立案庭递交材料。
   • 法院审查：法院在7日内决定是否受理，受理后启动执行程序。
   • 执行实施：法院可采取查封、扣押、冻结财产等措施，必要时拍卖变卖财产。

2. 与行政机关沟通协商：

   • 在采取法律手段之前，可以尝试与行政机关进行沟通协商，了解其拒绝履行的原因，并寻求解决方案。这有助于缓解矛盾，为后续的法律程序创造有利条件。

3. 向上级机关或监察机关反映：

   • 如果沟通协商无果，可以向行政机关的上一级行政机关或监察机关反映情况，请求其督促下级行政机关履行判决。

4. 关注后续处理结果：

   • 如果行政机关在法院采取强制措施后仍不履行判决，可以继续关注后续的处理结果。法院可能会采取更严厉的措施，如罚款、拘留等，以迫使行政机关履行判决。

三、注意事项

在处理此类问题时，还需要注意以下几点：

1. 保留相关证据：

   • 在整个过程中，应妥善保留与案件相关的所有证据，包括判决书、沟通记录、行政机关拒绝履行的证明等。这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用。

2. 及时行使权利：

   • 注意法定期限，避免因超期导致权利丧失。例如，申请强制执行的期限为两年。

3. 强化证据意识：

   • 全程保留与行政机关的往来文件、沟通记录等，为后续维权提供支撑。这些证据将有助于证明你的诉求和行政机关的不作为。

4. 借助专业力量：

   • 如果对法律程序不熟悉或遇到困难，可以寻求专业律师的帮助和指导。作为专业律师，我将能够为你提供更具体、更专业的法律建议和支持。

四、案例参考

为了更好地理解这个问题，我可以给你举一个类似的案例：某企业因环保问题被行政处罚，经行政诉讼胜诉后，行政机关未按判决撤销处罚决定。该企业随后向法院申请强制执行，法院经审查后裁定撤销原处罚。若行政机关仍不履行，法院可对其负责人处以罚款，并将情况反映至上级环保部门，最终推动问题解决。

综上所述，当行政机关不履行民事判决时，你可以通过申请强制执行、与行政机关沟通协商、向上级机关或监察机关反映以及关注后续处理结果等多种途径来维护自身合法权益。同时，也需要注意保留相关证据、及时行使权利、强化证据意识以及借助专业力量等方面的问题。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。