当行政机关不履行其法定职责，且这一行为被认定为违法时，法院在行政诉讼中的判决通常会基于具体案情和法律法规来作出。以下是对这一问题的详细解答：
一、判决的基本原则
在行政诉讼中，如果法院认定行政机关未履行其法定职责，且这一不作为行为违法，那么判决的基本原则是责令行政机关在一定期限内履行其法定职责。这一原则旨在保障公民的合法权益，促进行政机关依法行政。
二、判决的具体内容
责令履行职责：
- 法院会明确判决行政机关在规定期限内履行其未履行的法定职责。例如，在案例一中，法院判决市自然资源和规划局在一定期限内对李先生的申请事项进行调查处理，并将处理结果书面告知李先生。
- 在案例二中，法院判决要求被告立即恢复对小区生活垃圾的收集和清理工作，并在规定时间内完成清运。
赔偿损失：
- 如果行政机关的不作为行为给公民造成了实际损失，法院还可能判决行政机关承担赔偿责任。在案例二中，法院就判决被告向原告及小区其他居民支付赔偿金，以弥补因垃圾堆积造成的损失。
其他补救措施：
- 根据具体案情，法院还可能判决行政机关采取其他补救措施，如公开道歉、消除影响等。
三、判决的依据
法院在作出判决时，会依据以下法律法规和事实：
相关法律法规：
- 法院会查阅相关法律法规，确定行政机关是否具有法律、法规或规章规定的具体职责。例如，在案例一中，法院依据《土地管理法》等相关法律法规，认定市自然资源和规划局具有对李先生申请事项进行调查处理的法定职责。
事实证据：
- 法院会审查原告提交的证据材料，包括申请书、邮寄凭证、沟通记录等，以证明原告已向行政机关提出申请，且行政机关未履行职责。
- 法院还会审查行政机关提交的答辩状及相关证据，以全面了解案情。
四、后续执行与监督
执行判决：
- 行政机关在收到法院判决后，应在规定期限内履行判决内容。如果行政机关拒不履行判决，法院可以采取强制执行措施，如罚款、拘留等。
司法监督：
- 人民法院通过行政诉讼对行政机关进行司法监督，确保行政机关依法行政。如果行政机关存在不作为等违法行为，法院会依法作出判决，并公开通报批评，以促进行政机关改进工作。
五、建议与启示
公民应勇于维权：
- 当公民认为行政机关不履行法定职责侵害其合法权益时，应勇于通过法律途径维护自身权益。可以咨询专业律师，了解相关法律法规和诉讼流程，确保诉讼的顺利进行。
行政机关应依法履职：
- 行政机关应严格按照法律法规的规定履行职责，及时回应公民的申请和诉求。避免因不作为而引发行政诉讼和法律责任。
加强司法监督：
- 人民法院应继续加强行政诉讼的司法监督力度，确保行政机关依法行政，保障公民的合法权益。
综上所述，当行政机关不履行法定职责且被认定为违法时，法院会责令行政机关在一定期限内履行职责，并可能判决赔偿损失或采取其他补救措施。公民应勇于维权，行政机关应依法履职，共同构建法治社会。