当行政机关不履行其法定职责时，公民可以依据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定提起行政诉讼，具体涉及的法律条款主要是第十二条第一款第六项以及第七十二条。以下是对这一问题的详细解释：

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条第一款第六项：该条款明确规定，公民、法人或者其他组织申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的，公民、法人或者其他组织有权提起行政诉讼。这直接为公民在面对行政机关不履行职责时提供了法律救济途径。
   • 《中华人民共和国行政诉讼法》第七十二条：该条款规定，人民法院经过审理，查明被告不履行法定职责的，判决被告在一定期限内履行。这进一步明确了法院在处理此类案件时的判决依据和方式。

2. 实际应用：

   • 在实际案例中，如果公民认为行政机关未履行其法定职责，如未及时处理投诉、未颁发许可证等，且该不履行行为侵害了公民的合法权益，公民可以向人民法院提起行政诉讼。
   • 法院在受理案件后，会审查行政机关是否确实存在不履行法定职责的行为，以及该行为是否对公民的合法权益造成了侵害。如果法院认定行政机关确实存在不履行职责的行为，且该行为违法，法院将判决行政机关在一定期限内履行其法定职责。

3. 法律后果：

   • 对于行政机关而言，不履行法定职责可能面临法院的判决要求其履行职责，并可能因此承担行政责任或赔偿责任。
   • 对于公民而言，通过提起行政诉讼，可以维护自己的合法权益，促使行政机关依法履行职责，提高行政效率和服务质量。

建议：

• 如果您遇到行政机关不履行职责的情况，建议首先收集相关证据，如申请书、回复函（如果有的话）、现场照片或视频等，以证明行政机关确实存在不履行职责的行为。
• 然后，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行其法定职责，并可能要求赔偿因此造成的损失。
• 在诉讼过程中，建议您咨询专业律师，以更好地了解法律程序和诉讼策略，提高胜诉的可能性。

希望以上解释能对您有所帮助。如果您有任何其他法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。