行政机关不履行职责时，公民、法人或者其他组织可以依法提起行政诉讼，这一权利主要依据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条的规定。以下是对该问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条第六项的规定，人民法院受理公民、法人或者其他组织对下列事项提起的诉讼：……（六）申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的。这一条款明确赋予了公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时提起诉讼的权利。
二、起诉条件
- 原告资格：原告必须是认为具体行政行为侵犯其合法权益的公民、法人或者其他组织。这意味着，只有那些与行政机关的不作为行为有直接利害关系的主体，才有资格提起诉讼。
- 被告明确：被告必须是作出具体行政行为的行政机关或法律、法规授权的组织。在行政机关不作为的情况下，被告就是应当履行职责而未履行的那个行政机关。
- 有具体的诉讼请求和事实根据：原告需要明确提出自己的诉讼请求，即要求行政机关履行何种职责，并提供相应的事实根据来证明行政机关确实存在不作为的行为。
- 属于人民法院受案范围和受诉人民法院管辖：原告的起诉必须属于人民法院的受案范围，并且应当向有管辖权的人民法院提出。
三、起诉流程
- 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求，事实与理由等内容。
- 向法院提交起诉材料：将准备好的起诉材料提交给有管辖权的人民法院。
- 法院受理：法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知原告缴纳诉讼费用。
- 开庭审理：法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
- 法院判决与执行：法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责；如果判决驳回原告的诉讼请求，原告可以在法定期限内提起上诉。
四、注意事项
- 遵守诉讼时效：根据法律规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。因此，原告需要在规定的时效期内提起诉讼。
- 提供充分证据：在诉讼过程中，原告需要提供充分的证据来证明行政机关存在不作为的行为以及自己因此遭受的损失。
若您遇到行政机关不履行职责的情况，且符合上述起诉条件，您可以依法向人民法院提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。