结论：未办理入职手续、未签劳动合同，但只是在公司打工、指纹打卡并按月发工资，这种情况一般算作雇佣关系。以下从不同角度进行分析：
一、雇佣关系的认定
事实劳动关系：
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：
- 用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
- 用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
- 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
- 在您描述的情况下，虽然未办理入职手续和签订劳动合同，但您在公司打工、指纹打卡并按月发工资，这表明您接受了公司的管理，并从事了公司安排的有报酬的劳动，符合事实劳动关系的构成要件。
雇佣关系的本质：
- 雇佣关系是指受雇人向雇佣人提供劳务，雇佣人支付相应报酬形成权利义务关系。在您的情况下，您为公司提供了劳务（打工），公司也按月支付了工资（报酬），这符合雇佣关系的本质特征。
二、未签劳动合同的法律后果
双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果公司未与您签订劳动合同，您有权要求公司支付双倍工资。
其他权益保障：
- 即使未签订劳动合同，您作为劳动者的其他权益（如社会保险、福利待遇等）也应得到保障。如果公司未为您缴纳社会保险或提供其他福利待遇，您有权要求公司补缴或提供。
三、建议与措施
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司协商，要求公司签订书面劳动合同，并明确双方的权利和义务。如果公司同意，问题将得到妥善解决。
收集证据：
- 如果公司拒绝签订劳动合同或否认雇佣关系，您应收集相关证据（如工资单、打卡记录、工作证等）以证明您与公司之间存在事实劳动关系。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求确认您与公司之间的劳动关系，并主张相应的权益（如双倍工资、社会保险等）。
总结与进一步思考：未办理入职手续和未签劳动合同并不影响雇佣关系的认定。在您的情况下，您已经为公司提供了劳务并接受了公司的管理，同时公司也按月支付了工资，这足以证明您与公司之间存在雇佣关系。如果公司未与您签订劳动合同或未保障您的其他权益，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。