可以主张前九个月未签劳动合同期间的双倍工资赔偿，但需注意时效性。以下从法律责任、时效性、实际操作三个角度进行详细分析：

一、法律责任

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。同时，根据该法第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果用人单位未在规定时间内与劳动者签订劳动合同，将承担支付双倍工资的法律责任。

具体到您的案例：您在公司工作了16个月，但公司直到第九个月才与您签订劳动合同。那么，对于前八个月（因为第一个月是允许的宽限期，从第二个月开始计算）未签订劳动合同的时间，公司应当向您支付双倍工资。

二、时效性

劳动者对于用人单位未签订劳动合同的行为，有权要求赔偿，但这一权利并非无期限。通常，劳动者需要在知道或应当知道自己的权利被侵害之日起一定时间内（如一年内，具体时效可能因地区而异）提出赔偿请求，否则可能因超过时效而丧失胜诉权。

具体到您的案例：您需要确认自己是否在知道或应当知道权利被侵害之日起的一年内（或当地规定的时效期限内）提出了赔偿请求。如果已经超过时效，那么您可能无法再主张这部分赔偿。

三、实际操作

1. 收集证据：为了主张双倍工资赔偿，您需要收集相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与公司之间存在劳动关系，并且公司未在规定时间内与您签订劳动合同。

2. 与用人单位协商：在提出赔偿请求前，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决。

3. 申请劳动仲裁：如果与用人单位协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付双倍工资赔偿。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和申请书。

总结与建议：

• 您有权主张前九个月未签劳动合同期间的双倍工资赔偿，但需注意时效性。
• 在实际操作中，您需要收集相关证据，与用人单位协商，并在必要时申请劳动仲裁。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到保障，可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。