员工随时请假，公司是否可以开除以及该开除行为是否合法，需根据具体情况及法律法规进行综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一般情况下，员工正常请假被开除不合法
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有休息休假的权利。这意味着员工在符合规定的情况下，有权请假休息。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条也规定了特定情形下用人单位不得解除劳动合同，包括员工在规定的医疗期内等情形，这进一步保护了员工在请假期间的权益。
通常情形：
- 如果员工因生病、家庭急事等正当原因，按照公司规定的请假流程和要求提出请假申请，并获得批准后休假，公司在此情况下开除员工属于违法行为。因为员工已经履行了请假手续，且请假原因正当，公司无权因此开除员工。
- 在突发紧急状况下，如员工突然生病或家中发生紧急事故，员工虽未能事先请假，但事后及时向公司说明情况并补办请假手续，公司也不应以此为由开除员工。因为员工的行为符合人之常情，且已经尽力补救。
特殊情况下，员工请假被开除可能合法
违反公司请假规定：
- 如果公司有明确且合理的请假制度，员工却故意违反，如未经批准擅自离岗、请假理由虚假、超期休假且无合理说明或拒不返岗等，公司可以依据相关规章制度对员工进行处理，包括解除劳动合同。因为员工的行为已经违反了公司的规定，公司有权进行处罚。
对公司造成重大损害：
- 员工的请假行为对公司的正常运营、生产或业务开展造成了重大的负面影响或经济损失，如关键岗位员工在公司业务高峰期请假且未做好工作交接，导致公司业务瘫痪等，公司可以根据相关法律和公司规定解除与员工的劳动合同。因为员工的行为已经对公司造成了重大损害，公司有权采取措施保护自身利益。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，如果员工严重违反用人单位的规章制度或严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害，用人单位有权单方解除劳动合同。这是公司在特定情况下可以开除员工的法律依据。
争议解决途径与经济补偿
争议解决：
- 如果员工认为自己在请假期间被辞退是不合法的，可以通过劳动争议调解仲裁等法律途径来维护自己的权益。具体可根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第五条的规定，先向调解组织申请调解，不愿调解或调解不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
经济补偿或赔偿：
- 若用人单位的辞退行为被认定为违法，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位需要向劳动者支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。这是对员工权益的一种保护。
总结与建议：
- 员工应了解自己的合法权益，包括休息休假的权利，并在请假时遵守公司的规定和流程。
- 如果员工认为自己在请假期间被辞退是不合法的，可以通过法律途径来维护自己的权益。
- 用人单位也应遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性，避免因违法辞退而承担法律责任。
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