结论前置：员工请病假超过两个月，公司一般不能随意开除，但需根据具体情况判断。若员工在规定的医疗期内，公司违法解除劳动合同将面临法律责任；若医疗期满且员工无法从事原工作或另行安排的工作，或员工严重违反公司规章制度，公司可以合法解除劳动合同。
一、医疗期内的保护
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《中华人民共和国劳动法》第二十九条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限，其长短依据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围为3个月至24个月不等。
举例说明：若员工实际工作年限为8年，在现单位工作3年，其医疗期为3个月。在此期间，即使员工请病假超过两个月，公司也不能随意开除。
二、医疗期满后的处理
医疗期满不能胜任工作：
- 根据《劳动合同法》第四十条，若劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同。
- 举例说明：如员工小李医疗期满后仍无法从事原工作或新安排的工作，用人单位在履行法定程序后可解除劳动合同。
严重违反规章制度：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
- 举例说明：如员工小张请病假时未提供正规医院的诊断证明和病假条，且经多次催告后仍不补办，违反了公司规章制度，公司可据此解除劳动合同。
三、违法解除的后果
若用人单位在医疗期内或违反规定解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
经济补偿标准：
- 按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
四、建议与总结
- 公司角度：公司在处理员工病假问题时，应严格遵守相关法律法规，确保合法合规。在医疗期内，不得随意开除员工；医疗期满后，若员工无法从事原工作或另行安排的工作，应履行法定程序后再解除劳动合同。
- 员工角度：员工在请病假时，应提供正规医院的诊断证明和病假条，并遵守公司的规章制度。若公司违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同或获得赔偿金。
总之，员工请病假超过两个月，公司能否开除需根据具体情况判断。在处理此类问题时，公司和员工都应了解相关法律法规，确保自身权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。