结论：在私立中学任教16年后合同期满，学校不续签是否合法，需根据具体情况判断。若学校无正当理由且未支付经济补偿金，则可能不合法；若学校有合理理由或已支付经济补偿金，则可能合法。
分析：
合同到期与续签：
- 劳动合同到期后，双方有权选择是否续签。若双方均同意续签，则应重新签订劳动合同。
- 若任何一方不愿继续履行，则劳动关系自动终止。但在此情况下，若因用人单位（即学校）方面的原因导致其不愿与职工（即教师）续订劳动合同，学校需向教师支付经济补偿金。
学校不续签的合法性判断：
- 无正当理由且未支付经济补偿金：若学校无正当理由拒绝续签，且未按照法律规定向教师支付经济补偿金，则学校的行为可能不合法。教师有权要求学校支付经济补偿金，并可能通过法律途径维护自己的权益。
- 有合理理由或已支付经济补偿金：若学校有合理理由不续签（如教师存在严重违反学校规章制度、不能胜任工作等情形），或者学校已按照法律规定向教师支付了经济补偿金，则学校的行为可能合法。在此情况下，教师需接受合同到期不续签的事实。
经济补偿金的计算：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 具体计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
建议：
- 若您认为学校无正当理由拒绝续签且未支付经济补偿金，建议您先与学校进行协商，要求学校支付经济补偿金并续签合同。
- 若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求学校支付经济补偿金并可能要求续签合同（但需注意，仲裁或诉讼结果可能因具体情况而异）。
- 在整个过程中，建议您保留好相关证据（如劳动合同、工资单、工作证明等），以便在需要时提供证明。
后续行动：
- 您可以先与学校沟通，了解学校不续签的具体原因，并要求学校提供书面说明。
- 若学校拒绝提供说明或您认为学校的原因不充分，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以进一步了解您的权益和可能的维权途径。
如有任何法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。