结论是：员工在工作期间私自外出买早餐未申请到工伤，但被鉴定为九级伤残的情况下，公司是否需要赔偿，取决于员工受伤是否与工作有关以及公司是否已购买工伤保险。以下从不同角度进行分析：
一、工伤认定与工作相关性
工伤认定原则：
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤认定通常要求员工受伤是在工作时间、工作场所内，因工作原因受到事故伤害。若员工私自外出买早餐，且此行为与工作无直接关联，那么该受伤情况可能不被认定为工伤。
例外情况：
- 尽管员工私自外出，但如果其外出行为是为了满足基本生理需求（如饥饿），且该需求与工作环境的特殊性（如工作地点偏远、无餐饮设施）有关，且公司未提供合理的餐饮安排，那么在某些情况下，可能被视为与工作有一定的间接关联。然而，这种情况下的工伤认定存在争议，且通常较为严格。
二、公司赔偿责任
已购买工伤保险：
- 如果公司已为员工购买了工伤保险，且员工受伤情况被认定为工伤（尽管在此案例中可能性较小），那么公司将按照工伤保险的规定进行赔偿，包括一次性伤残补助金、伤残津贴等。
- 若员工受伤未被认定为工伤，但公司愿意承担一定的社会责任或出于人道主义考虑，可以与员工协商达成一定的赔偿协议。
未购买工伤保险：
- 如果公司未为员工购买工伤保险，且员工受伤情况未被认定为工伤，那么公司通常不承担工伤保险意义上的赔偿责任。但如前所述，公司可以出于人道主义或避免潜在纠纷的考虑，与员工协商赔偿。
- 值得注意的是，如果公司未依法为员工购买工伤保险，且员工受伤情况实际上符合工伤认定条件（尽管在此案例中因私自外出而难以认定），公司可能面临劳动行政部门的处罚，并需承担员工应享受的工伤保险待遇。
三、九级伤残的赔偿标准（假设被认定为工伤）
- 若员工受伤情况被奇迹般地认定为工伤，且伤残等级为九级，那么根据《工伤保险条例》及相关规定，员工有权享受以下待遇：
- 一次性伤残补助金：通常为9个月的本人工资。
- 伤残津贴（如适用）：在劳动关系存续期间，若员工无法工作，可能享受一定比例的伤残津贴。但九级伤残通常不涉及长期伤残津贴的支付。
- 其他待遇：如医疗费用报销、停工留薪期工资等。
四、建议与后续行动
员工方面：
- 员工应首先尝试与公司协商，看是否能达成一定的赔偿协议。
- 若协商无果，且员工认为其受伤情况与工作有一定的间接关联，可以考虑咨询专业律师，评估是否有可能通过法律途径争取工伤认定和赔偿。
公司方面：
- 公司应审查其工伤保险购买情况，确保符合法律法规要求。
- 对于此类事件，公司可以制定更为明确的规章制度，规范员工在工作期间的行为，以减少类似纠纷的发生。
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