在雇佣的司机发生单方事故且负全责的情况下，劳务派遣公司是否承担责任，需分情况讨论：

1. 若司机是因执行工作任务造成事故：

   • 根据《民法典》的相关规定，劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，原则上由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任。这意味着，如果司机是在为用工单位执行工作任务过程中发生的事故，那么责任主要由用工单位来承担。
   • 然而，如果劳务派遣单位在派遣过程中存在过错，比如未对司机进行必要的培训、未审核司机的驾驶资格等，那么劳务派遣单位也需要承担相应的补充责任。这种补充责任的大小，通常取决于劳务派遣单位过错的程度。

2. 若事故与执行工作任务无关：

   • 如果司机发生的事故并非在执行工作任务过程中，而是由于其个人原因（如私自驾车外出、酒后驾车等）导致的，那么这种情况下，劳务派遣公司通常不需要承担责任。因为此时的事故责任应归属于司机个人，而非其所属的劳务派遣公司或用工单位。

法律建议：

• 对于用工单位而言，应当加强对被派遣司机的管理和监督，确保其在执行工作任务过程中遵守交通规则和安全操作规程，以减少事故的发生。
• 对于劳务派遣公司而言，应当严格审核被派遣司机的资格和条件，对其进行必要的培训和考核，确保其具备从事相关工作的能力和素质。同时，在派遣过程中，劳务派遣公司也应当与用工单位保持密切沟通，及时了解被派遣司机的工作情况和表现。
• 如果发生事故，各方应当及时收集证据、保留相关材料，并咨询专业律师以明确责任归属和赔偿事宜。

可能后果：

• 如果用工单位或劳务派遣公司被认定需要承担责任，那么可能面临赔偿受害者损失、支付罚款等法律后果。同时，还可能对企业的声誉和形象造成负面影响。
• 如果司机个人被认定需要承担责任，那么其可能面临民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任等法律后果。

综上所述，在雇佣的司机发生单方事故且负全责的情况下，劳务派遣公司是否承担责任需根据具体情况来判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。