可以起诉公司，且若公司辞退行为违法，您有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。以下从不同角度为您详细分析：
一、公司辞退行为的合法性判断
请假与辞退的关联性：
- 若您因合理事由请假（如病假、事假等），且符合公司规章制度或劳动合同中的规定，公司无正当理由拒绝并辞退您，则公司的辞退行为可能构成违法解除劳动合同。
- 若您请假的事由不符合公司规定或劳动合同约定，且公司已明确告知并给予合理期限改正，而您仍坚持请假，公司在此情况下辞退您，可能被视为合法解除。但即便如此，公司也需按照法律规定支付经济补偿。
违法解除的情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，用人单位只有在劳动者存在特定过错（如严重违反规章制度、严重失职等）时，才能单方面解除劳动合同。若公司无法证明您存在这些过错，而直接辞退您，则构成违法解除。
- 此外，公司辞退员工时，还需遵循法定程序，如提前通知工会、说明辞退理由等。若公司未履行这些程序，也可能被视为违法解除。
二、违法解除的法律后果
赔偿金计算：
- 若公司违法解除劳动合同，您有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 经济补偿按您在公司的工作年限计算，每满一年支付一个月工资。您在公司工作了10多年，因此可获得相当数量的月份工资作为赔偿（具体月份需根据实际工作年限确定，但通常远超过法定最低标准）。
- 计算公式：赔偿金 = 工作年限 × 月工资 × 2（其中，月工资指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
证据收集：
- 为证明公司的辞退行为违法，您需要收集相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等。
- 这些证据将有助于您在劳动仲裁或诉讼中证明劳动关系、工作年限及辞退事实。
三、维权途径
协商：
- 您可先与公司协商赔偿事宜，尝试通过友好方式解决争议。
投诉与仲裁：
- 若协商不成，您可向当地劳动监察部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁是解决劳动争议的法定程序，其裁决具有法律效力。
诉讼：
- 若对仲裁结果不服，您还可在规定时间内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼是维护您合法权益的最后一道防线，法院将依法审理并作出判决。
四、建议与注意事项
及时行动：
- 一旦发现公司存在违法解除劳动合同的行为，您应及时采取行动，收集证据并寻求法律帮助。
保留证据：
- 在整个维权过程中，您需妥善保管所有相关证据，以备不时之需。
咨询专业律师：
- 虽然我已为您提供了一定的法律指导，但劳动争议案件往往涉及复杂的法律关系和事实认定。因此，在必要时，您仍应咨询专业律师以获取更具体的法律建议。不过，就目前情况而言，您可以直接向我咨询相关法律问题。
综上所述，若公司因您请假而无正当理由辞退您，且该辞退行为构成违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金并可通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。