第三方签约的老师是否会被辞退，不能一概而论，需结合具体情况分析。以下从不同角度为您详细阐述：

1. 合同约定角度

• 合同期限与解除条件：若您与第三方（如劳务派遣公司）签订的劳动合同中明确约定了合同期限（如三年、五年或终身制），且未约定用人单位可单方解除合同的情形，那么用人单位在合同期内无正当理由辞退您，可能构成违法解除。
• 违约责任：若合同中约定了提前解除合同的违约责任（如支付违约金），用人单位需承担相应责任。但需注意，若合同中约定了“用人单位可随时解除合同且不支付补偿”等条款，可能因显失公平而被认定无效。

2. 法律规定角度

• 合法解除情形：根据《劳动合同法》，用人单位可合法解除劳动合同的情形包括：
  1. 劳动者严重违反用人单位规章制度；
  2. 劳动者不能胜任工作，经培训或调岗后仍不能胜任；
  3. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更合同达成协议。
• 违法解除后果：若用人单位无正当理由辞退您，您有权要求继续履行合同或主张赔偿金（按经济补偿标准的二倍计算，即工作每满一年支付两个月工资）。

3. 实践操作角度

• “自愿离职”协议的效力：若用人单位要求您签署“自愿离职”协议，需谨慎对待。此类协议可能免除用人单位的赔偿责任，但若您能证明签署时存在胁迫、欺诈等情形，协议可能被撤销。
• 仲裁与诉讼成本：若您选择通过劳动仲裁或诉讼维权，需考虑时间成本（仲裁周期通常为45-60日）和经济成本（如律师费、诉讼费）。但若用人单位违法解除事实明确，维权成功概率较高。

4. 行业特殊角度（如教育行业）

• 政策影响：部分地区可能因教育政策调整（如“双减”政策）导致第三方教师岗位缩减，但政策性辞退仍需遵循法定程序（如提前30日通知、支付经济补偿）。
• 学校降本增效：如您所述案例中，学校可能通过辞退老员工、招聘新员工以降低人力成本，但此行为需以合法为前提。

建议与风险提示

1. 核查合同与证据：保留劳动合同、工资条、工作记录等证据，以备维权之需。
2. 谨慎签署文件：对“自愿离职”等协议，建议先咨询律师再签署。
3. 及时维权：若被违法辞退，应在1年内申请劳动仲裁，逾期可能丧失权利。
4. 关注政策动态：若行业政策调整可能影响岗位，可提前规划职业方向。

若您遇到类似情况，可直接向我咨询具体应对方案。我会结合您的合同条款、事实证据及当地司法实践，为您提供专业法律意见。