若您作为劳动者，在为家装私人老板（无公司资质）工作过程中手指割断，您可按照以下步骤处理以维护自身合法权益：
确认劳动关系与雇主责任：
- 尽管私人老板没有公司资质，但您与他之间仍可能构成事实上的劳动关系。根据《工伤保险条例》及相关司法解释，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，您就有权享受工伤保险待遇。
- 您需要收集能证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、工作服、同事证言等。这些证据将有助于后续申请工伤认定和索赔。
申请工伤认定：
- 工伤认定是享受工伤保险待遇的前提。您应尽快向当地社会保险行政部门（通常是人力资源和社会保障局）提出工伤认定申请。
- 申请时需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等。
- 若私人老板不配合提供相关材料，您可自行收集并提交，或请求社会保险行政部门依法调取。
进行劳动能力鉴定：
- 工伤认定后，若您的伤情稳定且存在残疾、影响劳动能力的，应申请进行劳动能力鉴定。
- 劳动能力鉴定由设区的市级劳动能力鉴定委员会负责，鉴定结果将作为您享受工伤保险待遇的依据。
索赔工伤保险待遇：
- 根据劳动能力鉴定结果，您可索赔包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金（若解除劳动关系）、停工留薪期工资等在内的工伤保险待遇。
- 若私人老板未为您缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条，所有工伤保险待遇应由其承担。
考虑法律途径：
- 若私人老板拒绝承担工伤保险责任或赔偿不足，您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，您需提供充分的证据证明劳动关系、工伤事实及损失情况，以支持您的索赔请求。
特殊情况处理：
- 若私人老板无赔偿能力：您可考虑申请法律援助，通过法律途径追讨赔偿。同时，若您符合社会救助条件，也可向相关部门申请救助。
- 若存在第三方责任：如手指割断是由于第三方（如材料供应商、设备制造商等）的原因造成的，您还可考虑向第三方主张侵权责任赔偿。
后续建议：
- 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静，及时收集并保存相关证据。
- 如有需要，可寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
您作为劳动者，在为无公司资质的家装私人老板工作过程中受伤，仍有权享受工伤保险待遇并索赔。请按照上述步骤处理，并考虑法律途径以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。