核心结论：食指断了一节，若属于工伤，可按工伤赔偿流程向私人老板主张赔偿；若不属于工伤，则按人身损害赔偿标准主张赔偿。以下分情况详细说明：
一、若属于工伤情形
- 工伤认定
- 首先需要确认与私人老板之间存在劳动关系。虽然私人老板可能未签订书面劳动合同，但只要能提供工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据，证明存在事实劳动关系，就可以向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
- 工伤认定申请一般由用人单位在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内提出；用人单位未按规定提出的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 劳动能力鉴定
- 经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。
- 食指断了一节，一般可能构成十级伤残（具体以劳动能力鉴定结论为准）。十级伤残对应的赔偿项目和标准如下：
- 一次性伤残补助金：本人7个月工资。这里的工资是指工伤职工因工作遭受事故伤害或者患职业病前12个月平均月缴费工资。本人工资高于统筹地区职工平均工资300%的，按照统筹地区职工平均工资的300%计算；本人工资低于统筹地区职工平均工资60%的，按照统筹地区职工平均工资的60%计算。
- 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。不同地区的标准有所不同，例如在某些地区，十级伤残的一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金合计可能在数万元左右。
- 停工留薪期工资：在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
- 医疗费用：符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的费用，由工伤保险基金支付（如果私人老板未缴纳工伤保险，则由老板承担）。
- 护理费：生活不能自理的工伤职工在停工留薪期需要护理的，由所在单位负责。
- 赔偿流程
- 先与私人老板协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，可以向人民法院提起诉讼。
二、若不属于工伤情形
- 赔偿主体和依据
- 如果食指断了一节是由于私人老板的过错（如提供的工作环境存在安全隐患、未提供必要的安全防护措施等）导致的，那么可以依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，向私人老板主张人身损害赔偿。
- 赔偿项目和标准
- 医疗费：根据医疗机构出具的医药费、住院费等收款凭证，结合病历和诊断证明等相关证据确定。
- 误工费：根据受害人的误工时间和收入状况确定。误工时间根据受害人接受治疗的医疗机构出具的证明确定。受害人有固定收入的，误工费按照实际减少的收入计算；受害人无固定收入的，按照其最近三年的平均收入计算；受害人不能举证证明其最近三年的平均收入状况的，可以参照受诉法院所在地相同或者相近行业上一年度职工的平均工资计算。
- 护理费：根据护理人员的收入状况和护理人数、护理期限确定。护理人员有收入的，参照误工费的规定计算；护理人员没有收入或者雇佣护工的，参照当地护工从事同等级别护理的劳务报酬标准计算。
- 交通费：根据受害人及其必要的陪护人员因就医或者转院治疗实际发生的费用计算。交通费应当以正式票据为凭；有关凭据应当与就医地点、时间、人数、次数相符合。
- 住院伙食补助费：可以参照当地国家机关一般工作人员的出差伙食补助标准予以确定。
- 营养费：根据受害人伤残情况参照医疗机构的意见确定。
- 残疾赔偿金：如果构成伤残，根据受害人丧失劳动能力程度或者伤残等级，按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，自定残之日起按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。食指断了一节一般可能构成十级伤残，具体以司法鉴定机构的鉴定结论为准。
- 精神损害抚慰金：根据侵权人的过错程度、侵权行为所造成的后果等因素确定，一般在数千元到数万元不等。
- 赔偿流程
- 先与私人老板协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需要进行伤残鉴定等程序，以确定具体的赔偿金额。
温馨提示：在实际操作中，证据的收集和保存非常重要，如事故现场的照片、证人证言、医疗记录等。如果你在处理此类赔偿问题时遇到困难，可以随时向我咨询。