结论：针对您描述的情况，员工未签劳动合同且不打招呼离职给公司造成损失，同时该员工又申请劳动仲裁要求公司支付双倍工资，公司需要从多个方面进行应对，包括核实双倍工资诉求的合法性、准备相关证据以及考虑损失赔偿的合法主张等。
一、关于双倍工资诉求的合法性
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
- 这意味着，如果公司确实未与员工签订书面劳动合同，且用工时间超过一个月，那么员工有权要求公司支付双倍工资。
应对建议：
- 公司应首先核实是否确实未与员工签订书面劳动合同，以及用工时间是否超过一个月。
- 如果确实存在未签劳动合同的情况，公司应考虑与员工协商解决，或者准备相关证据以应对劳动仲裁。
二、关于员工离职给公司造成损失的问题
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第九十条：“劳动者违反本法规定解除劳动合同，或者违反劳动合同中约定的保密义务或者竞业限制，给用人单位造成损失的，应当承担赔偿责任。”
- 这意味着，如果员工未经公司同意擅自离职，且给公司造成了实际损失，公司有权要求员工承担赔偿责任。
应对建议：
- 公司应收集并保存员工擅自离职给公司造成损失的相关证据，如经济损失的具体数额、损失与员工离职之间的因果关系等。
- 在劳动仲裁过程中，公司可以提出反诉，要求员工赔偿因其擅自离职给公司造成的损失。但需要注意的是，反诉需要在劳动仲裁过程中提出，且需要符合法律规定的条件。
三、关于劳动仲裁的应对策略
准备证据：
- 公司应准备与员工签订劳动合同的相关证据（如果已签订），以及员工擅自离职、给公司造成损失的相关证据。
- 证据应包括书面材料、证人证言、经济损失的具体计算依据等。
参与仲裁过程：
- 公司应积极参与劳动仲裁过程，按照仲裁委员会的要求提交证据、参加庭审等。
- 在庭审过程中，公司应清晰陈述事实、提供证据，并针对员工的诉求进行反驳和辩护。
考虑和解或调解：
- 在劳动仲裁过程中，公司也可以考虑与员工进行和解或调解，以达成双方都能接受的解决方案。
- 和解或调解可以节省时间和成本，同时也有助于维护公司的声誉和形象。
四、其他注意事项
及时咨询专业律师：
- 劳动仲裁涉及复杂的法律问题和程序，公司应及时咨询专业律师以获取法律建议和帮助。
- 律师可以协助公司准备证据、参与仲裁过程，并提供专业的法律意见和辩护策略。
完善公司管理制度：
- 公司应完善内部管理制度，确保与员工签订书面劳动合同，并明确员工的离职程序和责任。
- 通过完善管理制度，可以减少类似纠纷的发生，降低公司的法律风险。
总结：针对您描述的情况，公司需要从核实双倍工资诉求的合法性、准备相关证据、考虑损失赔偿的合法主张以及完善公司管理制度等多个方面进行应对。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。