针对您提出的“员工在合同履行期间是否有权利提出签订无固定期限劳动合同”这一问题，我的分析如下：

1. 员工在合同履行期间提出签订无固定期限劳动合同的权利：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等），员工有权在劳动合同期满或符合条件时提出签订无固定期限劳动合同的要求。然而，这一权利通常是在劳动合同期满或续订时行使的，而非在合同履行期间直接要求改签。
   • 在合同履行期间，即使员工的工作年限已经超过了签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年），员工也没有权利直接要求将原固定期限劳动合同改签为无固定期限劳动合同。因为劳动合同一旦签订，双方都需要受到其约束，包括岗位、期限、工资待遇等条款。

2. 员工在合同履行期间提出签订无固定期限劳动合同的实际情况与建议：

   • 实际上，员工在合同履行期间提出签订无固定期限劳动合同的要求，往往是因为对未来工作稳定性的担忧或是对当前合同条款的不满。但这种情况下，员工更合理的做法是与用人单位进行沟通，协商是否可以在合同期满后续订无固定期限劳动合同，或者就当前合同条款进行协商调整。
   • 如果员工确实符合签订无固定期限劳动合同的条件，并且希望在合同期满后续订无固定期限劳动合同，那么员工可以在合同期满前适当时间向用人单位提出这一要求，以便双方有足够的时间进行协商和准备。

3. 用人单位在员工提出签订无固定期限劳动合同时的责任与义务：

   • 用人单位在收到员工提出签订无固定期限劳动合同的要求时，应当认真审查员工是否符合签订条件，并依据《劳动合同法》的相关规定进行处理。
   • 如果员工符合签订条件，用人单位应当与员工协商续订无固定期限劳动合同，除非员工提出订立固定期限劳动合同或者存在《劳动合同法》规定的例外情形（如员工存在严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形）。

4. 法律后果与风险提示：

   • 如果用人单位在员工符合签订无固定期限劳动合同条件的情况下拒绝续订，或者以不合理的理由终止劳动合同，那么用人单位可能面临违法终止劳动合同的法律责任，包括支付经济赔偿金等。
   • 因此，建议用人单位在处理员工提出签订无固定期限劳动合同的要求时，务必谨慎行事，遵守相关法律法规的规定，以避免不必要的法律风险。

综上所述，员工在合同履行期间通常没有权利直接要求将原固定期限劳动合同改签为无固定期限劳动合同。但员工可以在合同期满前或符合条件时向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求，并与用人单位进行协商。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。