行政机关在收到申请其履行法定职责的请求后，必须依法进行审查，并在规定期限内作出答复，且这种答复通常应当是书面的。以下是对这一问题的详细分析：

1. 答复的必要性：

   • 保障申请人权利：公民、法人或其他组织依法提出行政申请，旨在获取某种许可、信息或实现其他权益。行政机关的书面答复能让申请人及时了解其申请的处理结果，从而保障申请人的知情权和相应权益的实现。
   • 规范行政权力运行：要求行政机关对行政申请给予书面答复，可促使其依法、规范地处理申请事项，避免不作为或随意搁置申请等情况的发生，进而维护行政活动的有序性和严肃性。

2. 法律依据：

   • 《中华人民共和国行政复议法》：该法规定了行政复议机关在收到行政复议申请后，应在五日内审查并书面告知申请人是否受理，以及在规定期限内作出行政复议决定。这体现了行政机关在处理行政申请时，必须给予书面答复的法定要求。
   • 《中华人民共和国政府信息公开条例》：该条例明确规定了行政机关在收到政府信息公开申请后，应能当场答复的当场答复，不能当场答复的应在20个工作日内答复，并需延长答复期限的，应经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人。这也强调了书面答复的重要性。

3. 不同类型的行政申请答复要求：

   • 行政许可申请：行政机关受理行政许可申请后，应在法定期限内作出是否准予许可的决定，并将决定书面通知申请人。
   • 政府信息公开申请：如前所述，行政机关应按照条例规定的时间和方式，给予申请人书面答复。
   • 行政复议答复时限：行政复议机关也应在规定期限内作出行政复议决定，并以书面形式通知申请人。

4. 特殊情况下的答复：

   • 即使申请事项明显不属于某行政机关的职责范围，该行政机关也应在合理期限内以书面形式告知申请人正确的办理途径等相关信息，这同样是一种形式的答复。

5. 答复的内容与后续救济：

   • 行政机关的书面答复应针对申请人的请求和理由，明确说明审查结果和处理意见。
   • 如果申请人对书面答复不满意，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以进一步维护自己的合法权益。

综上所述，行政机关在收到申请其履行法定职责的请求后，必须严格按照法律法规的要求进行审查，并在规定期限内作出书面答复。这是行政机关的法定职责，也是保障公民、法人和其他组织合法权益的重要途径。如果行政机关未能在法定期限内作出书面答复，将构成不作为行为，申请人有权依法提起行政诉讼以维护自身权益。

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