履行法定职责申请书的回复形式需根据具体情况判断，但法律原则上要求行政机关以书面形式回复，特殊情形下可结合其他形式补充。具体分析如下：

1. 法律明确要求书面回复的情形
   根据《中华人民共和国行政许可法》第三十八条、《中华人民共和国政府信息公开条例》第四十二条等规定，若申请事项涉及行政许可、政府信息公开等法定职责，行政机关原则上必须以书面形式作出答复。例如：

   • 申请行政许可时，行政机关需出具书面许可决定或不予许可的书面理由；
     
   • 申请政府信息公开时，行政机关需提供书面答复，明确是否公开及理由。
     此类情形下，书面回复是法定程序要求，口头回复或未回复均可能构成程序违法。

2. 法律未明确规定回复形式时的处理原则
   若申请事项不属于上述明确要求书面回复的范畴（如一般性咨询、投诉举报等），行政机关的回复形式可能无直接法律规定。但根据《中华人民共和国行政程序法（草案）》及行政法基本原则（如程序正当原则），行政机关仍需履行以下义务：

   • 记录义务：对口头回复的内容、时间、对象等信息进行记录，确保可追溯性；
     
   • 实质回应义务：回复需针对申请内容作出明确答复，避免模糊或推诿；
     
   • 救济途径告知义务：若拒绝履行职责，需告知申请人复议或诉讼的权利及期限。
     实践中，为避免争议，行政机关通常仍会采用书面形式回复，即使法律未强制要求。

3. 特殊情形下的补充形式
   在紧急情况或申请人明确同意的前提下，行政机关可先通过电话、短信等口头形式初步回复，但需后续补正书面材料。例如：

   • 申请事项涉及公共安全、突发事件处理等紧急情况；
     
   • 申请人因特殊原因（如行动不便）书面沟通存在困难，且口头回复内容已录音录像留存。
     但此类情形需严格限制条件，并确保申请人权益不受损害。

建议：若您已提交履行法定职责申请书但未获书面回复，可先通过书面形式催告行政机关履行职责，并明确要求书面答复。若行政机关仍不回复或回复形式不符合要求，可依法申请行政复议或提起行政诉讼，主张其程序违法。具体操作需结合申请事项类型及地方性法规进一步分析，您可直接向我咨询具体案件细节。