行政机关收到履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复，这是行政机关的法定职责。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据与答复义务
法定答复义务：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》、《中华人民共和国行政诉讼法》以及《中华人民共和国政府信息公开条例》等相关法律法规，行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请时，负有在法定期限内作出答复并履行相应职责的义务。这是保障申请人合法权益的重要法律原则。
具体法律法规的细化规定：
- 以《政府信息公开条例》为例，该条例明确规定，行政机关应在收到政府信息公开申请后的一定工作日内（通常为20个工作日，可延长至40个工作日）予以答复。这一规定体现了对行政机关答复时限的具体要求，确保了申请人能够及时获取所需信息。
二、答复的时限与延期
一般答复时限：
- 行政机关对履职申请的答复时限一般为六十天，但具体时限可能因申请类型和法律法规的不同而有所差异。例如，对于行政许可申请，行政机关应在法定期限内作出是否准予许可的决定，并将决定书面通知申请人。
延长期限的条件：
- 对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限。但延长期限必须符合法律法规的规定，且不得超过法定最长期限。例如，在政府信息公开申请中，延长期限最长不得超过20个工作日。
三、答复的形式与要求
书面回复的优先性：
- 虽然法律可能未直接规定所有履职申请都必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。它有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，提高行政机关的透明度和公信力。
非书面回复的例外情况：
- 在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关可以选择非书面方式进行回复。但这种回复方式应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。例如，在紧急情况下，行政机关可能通过电话通知申请人相关处理结果。
四、不答复的法律后果
构成不作为行为：
- 如果行政机关未能在法定期限内对履职申请作出答复，将构成不作为行为。这种行为可能损害申请人的合法权益，并引发行政复议或行政诉讼等法律后果。
申请人的救济途径：
- 申请人对行政机关的不答复行为有权依法提起行政复议或行政诉讼。在复议或诉讼过程中，行政机关需要承担举证责任，证明其已经依法履行了答复义务。如果行政机关无法提供充分证据证明其已经答复，将可能面临复议机关或法院的撤销、变更或确认违法等裁决。
五、实际操作中的建议
保留申请证据：
- 申请人在提交履职申请时，应保留好相关证据，如申请书、邮寄凭证、电子邮件等。这些证据有助于证明申请人已经依法提出了申请，并在需要时作为维权依据。
及时跟进申请进展：
- 申请人在提交申请后，应及时跟进申请进展。如果行政机关未能在法定期限内作出答复，申请人可以通过电话、邮件等方式进行催办，并保留好催办记录。
寻求法律援助：
- 如果申请人对行政机关的答复不满意或认为行政机关未依法履行答复义务，可以寻求法律援助或咨询专业律师。律师将根据具体情况为申请人提供法律建议和维权方案。
总结来说，行政机关在收到履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障公民、法人和其他组织合法权益的重要举措。如果您在履职申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。