关于履行法定职责申请书行政机关答复形式的法律规定，核心结论如下：
行政机关在收到履行法定职责申请书后，其答复形式及要求主要依据《中华人民共和国行政复议法》及《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规的规定，同时结合具体行政行为的性质和实际情况进行。以下从多个角度详细分析：
一、答复形式的一般要求
书面形式为主：
- 行政机关在答复履行法定职责申请时，通常应当采用书面形式。书面答复能够确保内容的明确性、完整性和可追溯性，便于申请人查阅和保存。
内容明确具体：
- 答复内容应当明确具体，针对申请人的请求事项进行逐一回应。对于是否履行法定职责、如何履行、履行期限等关键问题，应当给出清晰明确的答复。
二、不同情境下的答复形式及要求
直接履行法定职责的情形：
- 如果行政机关认为申请人的请求事项属于其法定职责范围，且符合履行条件，应当直接履行法定职责，并在履行后向申请人发出书面通知或确认函，告知其已履行相关职责。
不予履行法定职责的情形：
- 如果行政机关认为申请人的请求事项不属于其法定职责范围，或者虽然属于法定职责范围但不符合履行条件（如申请材料不全、不符合法定形式等），应当向申请人发出书面答复，明确说明不予履行的理由和依据。
- 在不予履行的答复中，行政机关还应当告知申请人享有依法申请行政复议或提起行政诉讼的权利，以及相应的期限和途径。
需要进一步调查或处理的情形：
- 如果行政机关认为申请人的请求事项需要进一步调查或处理，应当向申请人发出书面通知，告知其已受理申请，并说明调查或处理的程序、期限和可能的结果。
- 在调查或处理过程中，行政机关应当保持与申请人的沟通，及时告知进展情况，并在最终作出决定后向申请人发出书面答复。
三、答复的合法性与有效性
合法性要求：
- 行政机关的答复必须符合法律法规的规定，不得超越或滥用职权，不得损害申请人的合法权益。
- 答复内容应当基于事实和法律，确保答复的合法性和正当性。
有效性要求：
- 答复应当及时送达申请人，确保申请人能够及时了解行政机关的处理意见和决定。
- 如果申请人对答复不满意或认为行政机关未依法履行职责，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
四、实际操作中的注意事项
- 保持沟通：在处理履行法定职责申请的过程中，行政机关应当保持与申请人的沟通，及时解答申请人的疑问和关切。
- 记录留存：行政机关应当妥善保存与履行法定职责申请相关的所有文件和记录，以备后续查阅和审计。
- 遵循程序：行政机关在答复履行法定职责申请时，应当严格遵循法定程序和要求，确保答复的合法性和有效性。
总结与建议：
行政机关在答复履行法定职责申请书时，应当遵循书面形式为主、内容明确具体的原则，并根据不同情境下的要求作出相应的答复。同时，行政机关应当确保答复的合法性和有效性，保持与申请人的沟通，并妥善保存相关文件和记录。如果您在履行法定职责申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。