针对您提出的“行政机关没有法定职责时是否需要对履职申请进行回复”的问题，以下是我的详细解答：

一、行政机关的答复义务概述

行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请时，无论其是否具有直接的法定职责，都负有依法进行审查并在规定期限内给予明确答复的义务。这是行政机关依法行政、保障申请人合法权益的基本要求。

二、具体分析行政机关的答复义务

1. 法定职责的明确性：

   • 行政机关的职责由法律法规明确规定。若申请事项确实不属于行政机关的法定职责范围，行政机关仍需在审查后，以适当形式告知申请人其申请事项不属于本机关职责范围，并可建议申请人向有管辖权的机关提出申请。

2. 答复的必要性：

   • 即使行政机关没有直接的法定职责，对申请进行答复也是必要的。这有助于申请人了解行政机关的立场和依据，避免不必要的误解和纠纷。同时，答复也是行政机关透明度和公信力的重要体现。

3. 答复的时限与形式：

   • 行政机关应在收到申请后的一定期限内（如六十天，或根据具体情况延长的期限）给予答复。答复形式可以是书面或口头，但书面答复更具正式性和法律效力，有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权。在特殊或紧急情况下，行政机关可选择非书面方式进行回复，但应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容。

三、不答复的法律后果

若行政机关未在规定期限内对履职申请给予答复，申请人有权依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自身合法权益。行政复议机关或法院将对行政机关的不作为行为进行审查，并作出相应的决定或判决。

四、实际案例与启示

以公民向某行政机关申请办理某项业务为例，若该业务确实不属于该行政机关的法定职责范围，但行政机关未给予任何答复，导致申请人权益受损。在此情况下，申请人有权依法申请行政复议或提起行政诉讼，要求行政机关承担相应的法律责任。这启示我们，行政机关在收到履职申请时，无论是否具有法定职责，都应积极履行答复义务，以避免不必要的法律纠纷和声誉损失。

五、总结与建议

综上所述，行政机关在收到履职申请后，无论是否具有法定职责，都应依法进行审查并在规定期限内给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障申请人合法权益的重要举措。建议行政机关在收到申请后，及时审查并作出答复，同时加强内部管理和培训，提高行政效率和公信力。对于申请人而言，若行政机关未履行答复义务，可依法申请行政复议或提起行政诉讼以维护自身权益。