针对您提出的“醉驾判刑一个月，事业单位可以不开除吗”这一问题，我们需要从多个角度进行综合分析。

首先，从法律法规层面来看，《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条明确指出，事业单位工作人员被依法判处刑罚的，将受到降低岗位等级或撤职以上的处分。特别需要注意的是，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，将直接给予开除处分。同时，《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条也规定，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位有权解除劳动合同。在您的情况下，醉驾被判刑一个月，虽然不属于有期徒刑以上的刑罚（有期徒刑通常指一年以上），但已构成被依法判处刑罚的情形，因此单位在法律上有权根据相关规定进行处分。

然而，是否开除并非绝对，还需考虑单位内部规定及员工具体情况。事业单位除遵循国家法律法规外，通常还设有内部规章制度，这些制度可能明确列出哪些行为构成严重违反纪律，并可能导致解除劳动合同。若醉驾行为被列为可解雇情形之一，且该规章制度的制定程序合法、内容合法并已向员工公示，则单位有权依此对员工进行开除处理。但若单位内部规定较为宽松，或员工有其他可考虑的减轻情节（如初犯、悔罪表现好等），则单位也可能选择给予降低岗位等级、撤职或其他相应处分，而非直接开除。

此外，还需考虑醉驾行为的具体后果。若醉驾同时引发严重的交通事故等，构成交通肇事罪等其他犯罪，并被判处有期徒刑以上刑罚，则无论是普通事业单位工作人员还是行政机关任命的工作人员，都将面临开除处分。但在您的情况下，醉驾判刑一个月，并未提及有严重的交通事故或其他犯罪行为，因此这一因素在决定是否开除时可能影响较小。

综上所述，事业单位工作人员因醉驾被判刑一个月后是否会被开除，并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要综合考虑法律法规、单位内部规定及员工具体情况。建议您首先查阅并了解相关法律法规及单位内部规章制度的具体规定，然后综合评估您的醉驾情节、后果及悔罪表现等因素。在做出决定前，咨询专业的法律顾问或律师也是一个明智的选择，以确保决策符合法律法规要求，并避免潜在的法律风险。