针对您提出的问题“老板完全不知情，员工私自虚开发票犯法吗”，以下是我的详细解答：

首先，明确一点，员工私自虚开发票是违法的。虚开增值税专用发票或用于骗取出口退税、抵扣税款的其他发票，都触犯了《刑法》的相关规定。这种行为不仅干扰了市场经济秩序，还严重破坏了税收征管工作。

现在，我们具体到您的情况：老板完全不知情，员工私自进行了虚开发票的行为。

1. 老板的责任：

   • 如果老板确实对此毫不知情，且没有参与、指使或授权员工进行虚开发票的行为，那么老板通常无需承担刑事责任或连带责任。这种情况下，虚开发票的行为应被视为员工的个人职务犯罪。

2. 员工的责任：

   • 对于私自虚开发票的员工，他们将面临法律的严惩。根据《刑法》第二百零五条的规定，虚开增值税专用发票或用于骗取出口退税、抵扣税款的其他发票的，将可能面临三年以下有期徒刑、拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金等处罚。如果虚开的税款数额较大或有其他严重情节，处罚将更加严厉。

3. 如何证明老板不知情：

   • 若老板希望证明自己的清白，需要提供充分的证据来表明自己确实对虚开发票的行为毫不知情。这可能包括但不限于：没有参与虚开的共谋、未从虚开中获利、对公司的财务管理有严格的监管措施等。
   • 同时，在发现虚开发票行为后，老板应积极配合税务机关等相关部门的调查，如实提供相关情况和证据。

4. 免于处罚的可能性：

   • 如果老板能够充分证明自己确实不知情，并且在发现虚开发票行为后采取了积极的补救措施（如补缴税款、滞纳金等），显示出积极整改的态度，那么在某些情况下，司法机关可能会综合考量各种因素，对老板免于处罚。但具体情况需根据实际案件及法律规定来判断。

综上所述，员工私自虚开发票是违法的，而老板如果确实对此毫不知情且没有参与其中，通常无需承担法律责任。但老板应积极配合调查，并提供充分证据来证明自己的清白。同时，对于私自虚开发票的员工，他们将面临法律的严惩。