不予立案后，市场监管部门可以现场监督相对人销毁过期食品。以下是对此问题的详细分析：
一. 不予立案的决定与现场监督销毁过期食品的关系
不予立案的情形：
- 根据《市场监督管理行政处罚程序规定》第十九条和第二十条，市场监管部门在接到举报后，若经核查发现违法行为轻微并及时改正、没有造成危害后果，或初次违法且危害后果轻微并及时改正等情形，可以不予立案。
- 例如，某商家初次违法销售少量过期食品，但立即自行改正并销毁过期食品，且未造成危害后果，市场监管部门可以依法作出不予立案的决定。
现场监督销毁过期食品的法律基础：
- 虽然不予立案，但市场监管部门仍有责任确保过期食品不再流通，以维护食品安全和消费者权益。
- 在此情况下，市场监管部门可以现场监督相对人销毁过期食品，以确保过期食品得到妥善处理，防止其再次流入市场。
二. 现场监督销毁过期食品的实践意义
- 现场监督销毁过期食品是市场监管部门履行食品安全监管职责的重要一环。通过现场监督，可以确保过期食品得到彻底销毁，防止其被不法分子回收利用或改头换面后重新销售。
- 同时，现场监督也可以起到警示和教育作用，提醒商家严格遵守食品安全法律法规，切实履行食品安全主体责任。
三. 我的建议
- 对于市场监管部门而言，在作出不予立案决定后，应继续关注相对人的整改情况，并视情况采取必要的监管措施，包括现场监督销毁过期食品等。
- 对于商家而言，应严格遵守食品安全法律法规，加强内部管理，确保过期食品得到及时、妥善处理，避免因此引发法律纠纷和损害消费者权益。
综上所述，不予立案后，市场监管部门可以现场监督相对人销毁过期食品，这是其履行食品安全监管职责的重要体现。