限期恢复劳动条件及工作权限通知函在证据中主要证明的对象及内容包括：

1. 证明劳动关系的存在：该通知函首先能够证明员工与用人单位之间存在劳动关系，这是解决劳动纠纷的基础。函件中通常会明确提及双方的身份信息，如员工的姓名、职位以及用人单位的名称等。

2. 证明劳动条件及工作权限的变更或恢复：函件的核心内容在于指出劳动条件或工作权限的变更情况，或者要求恢复原有的劳动条件和工作权限。这包括但不限于工作岗位、工作职责、工作时间、薪酬待遇、工作地点等关键劳动条件，以及与之相关的权限或限制。

3. 证明用人单位的违约或违法行为：如果函件中提及的劳动条件或工作权限的变更或恢复是由于用人单位的违约或违法行为导致的，那么该函件还可以作为证明用人单位存在过错的证据。例如，用人单位无故降低员工薪酬、变更工作岗位或剥夺工作权限等。

4. 证明员工的维权行为：员工通过发送限期恢复劳动条件及工作权限通知函，表明自己对于劳动权益的维护态度。这一行为本身也可以作为员工积极维权的证据，为后续可能的劳动仲裁或诉讼程序提供支持。

5. 证明双方协商的过程和结果：在函件中，可能会提及双方就劳动条件及工作权限变更或恢复进行的协商过程，以及协商的结果。这有助于还原事实真相，明确双方的责任和义务。

综上所述，限期恢复劳动条件及工作权限通知函在证据中具有重要的证明作用，能够全面反映劳动关系的存在、劳动条件及工作权限的变更或恢复情况、用人单位的违约或违法行为、员工的维权行为以及双方协商的过程和结果。因此，在劳动纠纷中，该函件往往被视为关键证据之一。