犯罪嫌疑人在被抓后送看守前脱逃，确实构成犯罪，具体为脱逃罪。

在我国刑法中，脱逃罪是指依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人，从羁押和改造场所逃走的行为。这一罪名的设立，主要是为了维护司法机关的正常管理秩序，确保刑事诉讼活动的顺利进行。

对于犯罪嫌疑人在被抓后送看守前脱逃的情况，虽然此时尚未正式进入看守所进行羁押，但犯罪嫌疑人已经被司法机关控制，并处于即将被羁押的状态。在这种情况下，如果犯罪嫌疑人脱逃，就破坏了司法机关的正常管理秩序，妨碍了刑事诉讼活动的进行。

因此，根据刑法的规定，犯罪嫌疑人在被抓后送看守前脱逃的行为，同样构成脱逃罪。一旦查证属实，将会受到相应的刑事处罚。

综上所述，犯罪嫌疑人在被抓后送看守前脱逃是构成犯罪的，具体为脱逃罪。如果你或你身边的人面临类似情况，建议尽快向司法机关投案自首，并积极配合调查，以减轻可能的刑事责任。如有其他法律问题，也可以直接向我咨询。