针对您提出的外包老板没有与员工签订劳动合同且员工被开除的情况，以下是我的专业建议：

1. 明确法律关系：

   • 首先，需要明确员工与外包老板之间是否存在事实劳动关系。即使未签订劳动合同，如果员工实际上为外包老板提供了劳动，并接受了其管理，且劳动是外包老板业务的组成部分，那么通常会被认定为存在事实劳动关系。

2. 分析开除的合法性：

   • 在确认存在事实劳动关系后，要分析员工被开除的合法性。开除员工需要符合法定的解除或终止劳动合同的条件，如员工严重违反规章制度、不能胜任工作等。若开除不符合法定条件，则可能构成违法解除。

3. 寻求法律救济：

   • 若员工被违法开除，其有权向劳动争议仲裁委员会提起仲裁，要求恢复劳动关系或支付赔偿金。同时，由于未签订劳动合同，员工还可以主张双倍工资作为赔偿（但需注意时效问题）。
   • 在提起仲裁前，员工应尽可能收集证据，如工作记录、工资支付凭证、同事证言等，以证明事实劳动关系的存在和开除的违法性。

4. 考虑其他法律途径：

   • 除了劳动争议仲裁外，员工还可以考虑向劳动监察部门投诉，要求对外包老板进行行政处罚；或者向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

5. 预防与建议：

   • 对于员工而言，应增强法律意识，及时与用人单位签订劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 对于外包老板而言，应遵守劳动法律法规，与员工签订合法的劳动合同，并依法管理员工，避免不必要的法律纠纷。

综上所述，外包老板没有劳动合同员工被开除的问题，需要根据具体情况进行分析和处理。员工应积极维护自己的合法权益，而外包老板也应遵守相关法律法规，规范用工行为。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。