劳动合同第一次到期，员工和公司都有权提出不续签。这一结论可以从以下几个方面进行详细阐述：

1. 员工的续签权利：

   • 劳动合同期满时，员工有权根据自己的意愿选择是否续签劳动合同。只要员工没有违反法律法规或公司规章制度，且不存在用人单位可以合法拒绝续签的情形，员工即享有续签劳动合同的权利。

2. 公司的续签权利：

   • 同样，劳动合同期满时，公司也有权根据自身的经营需要、员工的表现以及市场情况等因素，决定是否与员工续签劳动合同。公司可以在合同期满前通知员工其续签意向，或者与员工进行续签协商。

3. 续签的原则与程序：

   • 续签劳动合同应遵循平等自愿、协商一致的原则。双方应在合同期满前进行充分的沟通，明确续签的意向和条件。
   • 如果公司决定不续签劳动合同，应依法向员工支付经济补偿金，具体标准按照员工在公司工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。

4. 特殊情况的处理：

   • 对于处于孕期、产期、哺乳期的女职工，以及被确认丧失或者部分丧失劳动能力的工伤职工，即使劳动合同到期，也应按照相关法律法规的规定进行续延或处理，公司不能简单地选择不续签。

综上所述，劳动合同第一次到期时，员工和公司都有权提出不续签。但双方应遵循法律法规的规定，进行平等的协商和沟通，确保各自的权益得到保障。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师进行维权。