当您在给私人老板干活时手被割伤，且老板未购买工伤保险时，您可以通过以下途径来维护自己的权益：
首先，明确双方存在雇佣关系是索赔的基础。您需要确认与私人老板之间的劳务关系，这是后续要求赔偿的前提。一旦确认存在雇佣关系，雇主即私人老板就需要承担相应的赔偿责任。
接下来，您可以要求老板承担工伤保险责任范围内的各类赔偿，包括但不限于：
- 医疗费：按照实际发生的金额，以医疗机构出具的正规票据为准进行赔偿。
- 康复费：若您需要进行康复治疗，相关费用也应由老板承担。
- 误工费：根据您的误工时间和收入状况确定。如果您有固定收入，按实际减少的收入计算；如果无固定收入，则按最近三年的平均收入计算。
- 护理费：如果护理人员有固定收入，参照其误工损失计算；如果无固定收入，也需按照相应标准进行计算。
- 交通费：根据您及必要陪护人员就医、转院实际发生的费用计算，需有相应凭证。
- 住院伙食补助费：参照当地国家机关一般工作人员出差伙食补助标准确定。
- 伤残津贴：如果受伤导致了一定程度的伤残，影响了您的后续生活和工作，您还有权要求相应的伤残津贴补偿。
如果私人老板拒绝赔偿，您可以采取以下措施：
- 向劳动争议仲裁委员会申请仲裁：您需要提供与老板存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资支付凭证等。如果无法提供这些常规证据，您还可以尝试通过其他方式证明，如找证人提供证言或拿出自己的工作记录等。
- 向劳动监察部门投诉：劳动监察部门有职责和权力督促老板为员工补缴工伤保险，并承担起应有的赔偿责任。
在处理此类问题时，请务必注意证据的合法性、关联性和真实性。例如，工作记录需清晰准确，能体现工作内容、时间等关键信息，这样才能更有力地支撑您的诉求。
总之，当您遇到此类情况时，应及时采取行动，积极维护自己的合法权益。通过明确雇佣关系、要求老板承担赔偿责任、申请仲裁或投诉劳动监察部门等途径，您可以有效地保护自己的权益不受侵害。